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Ampliaci´n de C´lculo 10/11. Escuela Polit´cnica Superior. o a e

Cuestionario 1

Ampliaci´n de C´lculo de la Escuela Polit´cnica Superior o a e
Resoluci´n del cuestionario 1. Transformada de Laplace o

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Razone siempre la respuesta y en caso necesario indique cu´l ser´ la respuesta correcta. a ıa

1. L−1

s4 (s − 1)(s + 1)(s+ 2)

no existe.

Soluci´n: o Verdadero. Recordemos que una condici´n necesaria para que exista la transformada inversa de Laplace de una funo ci´n f (s) es que l´ f (s) = 0. Sin embargo, como el grado del numerador es 4 y el del denominador es o ım
s→∞

3, se tiene que

s4 = ∞ = 0 y, por lo tanto, no existe la transformada inversa de s→∞ (s − 1)(s + 1)(s + 2) Laplace de la funci´n dada.o 2 l´ ım



2.
0

t7 e−t dt = l´ ım Soluci´n: o Falso.

s→∞

7! = 0. (s + 1)8



Recordemos que
0

F (t) dt = l´ + L [F (t)] siempre que dicha transformada y dicho l´ ım ımite existan.
s→0

En este caso, teniendo en cuenta que L t7 e−t =

7! , el error est´ en calcular el l´ a ımite cuando s (s + 1)8 tiende a infinito en lugar de cero. Por tanto, la soluci´n correcta es:o
∞ 0

t7 e−t dt = l´ + ım
s→0

7! = 7! = 5040 (s + 1)8 2


t

3. Sabiendo que

L
0

e

−x

ln − cos(3x) dx = x

s2 + 9 s+1 s ln entonces (s + 1)2 + 9 s+2 s+1

t

L e−t
0

e−x − cos(3x) dx = x

Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´tica Aplicada. Universidad de M´laga. a a

1

Ampliaci´n de C´lculo 10/11. Escuela Polit´cnica Superior. o a e

Cuestionario 1Soluci´n: o Verdadero. Se ha aplicado la propiedad siguiente: Si f (s) = L [F (t)] entonces L eαt F (t) = f (s − α). 2

t

4.

Sabiendo que

L e−t
0

sen2 x 1 dx = x 2


ln

(s + 1)2 + 4 s+1 s+1
t

entonces √ 4

e−t
0 0

sen2 x dx x

dt = ln

5

Soluci´n: o Verdadero.


Recordemos que
0

F (t) dt = l´ + L [F (t)] siempre que dicha transformada y dicho l´ ımımite existan.
s→0

En este caso, teniendo en cuenta la informaci´n que nos dan: o
∞ t

e−t
0 0

sen2 x dx x

t

dt

=

s→0

l´ + L [F (t)] = l´ + L e−t ım ım
s→0

0

sen2 x dx x

ln =
s→0

l´ + ım

1 2

(s + 1)2 + 4 s+1 s+1 =

√ 1 √ 4 ln 5 = ln 5 2 2

π − arctg s sen x dx = 2 y 5. Sabiendo que f (s) = L x s 0 2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π f (s) = entonces2s2 (s2 + 1)
t t

L t
0

2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π sen x dx = x 2s2 (s2 + 1)

Soluci´n: o Falso. Recordemos que si f (s) = L [F (t)] entonces L [tn F (t)] = (−1)n f (n) (s). En este caso podemos aplicar dicha propiedad para n = 1, por lo que el error est´ en que falta un signo a menos. Esto es:
t

L t
0

2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π sen x dx = (−1)1 f (s) = − x 2s2 (s2 + 1) 2Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´tica Aplicada. Universidad de M´laga. a a

2

Ampliaci´n de C´lculo 10/11. Escuela Polit´cnica Superior. o a e

Cuestionario 1

√ 6. Sabiendo que L Soluci´n: o Verdadero. Se ha aplicado la propiedad siguiente:
t

1 − coshx = ln x



s2 − 1 s

t

ln 1 − coshx dx = x

s2 − 1 s s .

entonces L
0

Si f (s) = L [F (t)] entonces L0

F (u) du =

f (s) . s 2

7. L−1

1 2 7 s3 + 1 = − + et − e−2t s(s − 1)(s + 2) 2 3 6

Soluci´n: o Falso. Recordemos que una condici´n necesaria para que exista la transformada inversa de Laplace de una funo ci´n f (s) es que l´ f (s) = 0. Sin embargo, como el grado del numerador es 3 y el del denominador es 3, o ım
s→∞

se tiene que l´ ım

s3 + 1 = 1 = 0 y, por lo tanto, no existela transformada inversa de Laplace de la s→∞ s(s − 1)(s + 2) funci´n dada. o El hecho que puede inducir a pensar que la respuesta sea correcta ser´ el siguiente razonamiento err´neo: ıa o s3 + 1 s(s − 1)(s + 2) A B C −1/2 2/3 7/6 + + = + + s s−1 s+2 s s−1 s+2

;

El paso err´neo es que al ser el grado del numerador (3) mayor o igual que el grado del denominador (3) no o existen valores para...
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