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MÉTODO GRÁFICO


Solución gráfica de un problema lineal.

El método gráfico, soluciona problemas de programación lineal mediante la representación geométrica, tanto de las restricciones como la función objetivo. Usualmente las gráficas no son el mejor método para resolver problemas de programación lineal del mundo real, ya que no podemos dibujar en más detres dimensiones, sin embargo, por su naturaleza geométrica y su poco formulismo matemático, brinda un beneficio didáctico, facilitando la comprensión de la mecánica de otros métodos, ayudando así al entendimiento de la solución óptima de los modelos de programación lineal.

Este método se utiliza para maximizar o minimizar problemas, en el cual una vez obtenido el modelomatemático de este, se representan geométricamente las restricciones para determinar un espacio o área de soluciones factibles (polígono de solución), como siguiente paso se representa gráficamente la función objetivo con la cual se inspecciona la gráfica hasta encontrar la solución óptima.

Para un mejor entendimiento se resolverá un caso:

En una compañía sepretenden fabricar dos productos (X1 y X2), en tres máquinas, se desea maximizar utilidades.

En la primera máquina, el producto X1 requiere 8 hrs. y el producto X2 requiere de 6 hrs., se dispone de 60 hrs.
En la segunda máquina, el producto X1 requiere de 6 hrs. y el producto X2 requiere de 14 hrs., se dispone de 66hrs.
En la tercera máquina, el producto X1 requiere de 9 hrs. y el producto X2requiere de 7hrs., se dispone de 63 hrs.
La utilidad de X1 es de $135 y la de X2 es de $290.



La formulación del modelo matemático queda de la siguiente manera:

Maximizar Z = 135X1 + 290X2
Sujeto a 8X1 + 6X2 < 60 (1)
6X1 + 14X2 < 66 (2)9X1 + 7X2 < 63 (3)
X1 y X2 > 0 (4)

Representación Geométrica De Las Restricciones

Los tres tipos de restricciones que se pueden presentar en la formulación de un modelo de programación lineal, exceptuando los de no-negatividad son:

1.< Menor o igual a

2. = Igual a

3. > Mayor o igual a

En este caso, las restricciones que se van a presentar son de dos variables X1 y X2, por lo tanto se grafican en dos ejes, X1 en el eje horizontal y X2 en el eje vertical.

La desigualdad 2X1 + 4X2 < 8, es detipo menor igual a, se puede representar sobre el gráfico mediante su frontera (la frontera para cualquier restricción se obtiene reemplazando sus signos < o > por un signo de =), que se define por la línea: 2X1 + 4X2 = 8

» Solución del primer punto:

Si X2 = 0
2X1 + 4(0) = 8 se despeja X1 y nos queda
X1 = 8/2 = 4Entonces, el primer punto de la línea es P1 (4,0)

» Solución del segundo punto:

Si X1 = 0
2(0) + 4X2 = 8 se despeja X2
X2 = 8/4 = 2

El segundo punto es P2 (0,2)

Ya determinado los puntos, la restricción la podemos representar geométricamente en la figura 1, donde el espacio sombreado son los puntos que satisfacen lainecuación de la restricción (se puede indicar también por flechas), o sea, si le damos un valor de X1 y X2 de cualquier punto del espacio definido (sombreado), se verá que a cumplido la desigualdad.

Por ejemplo:

Si X1 = 1.5 y X2 = 1 P3 (1.5, 1)

La desigualdad es 2X1 + 4X2 < 8 sustituyendo X1 y X2 nos queda:

2(1.5) + 4(1) < 8...