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Universidad Andrés Bello Departamento de Matemáticas Facultad de Ingeniería

SEGUNDO CONTROL SOLEMNE CALCULO 3 – FMM-230 1. Considere el campo vectorial F en ℜ 3 definido por F ( x, y, z ) = ( z 2+ 1 , 2 z , 2 xz + 2 y ) a) Demuestre es un campo conservativo b) Calcule la integral de línea punto (1,1,1). RESPUESTA
ˆ ˆ i j ∂ ∂ a) Rot F = ∂x ∂y 2 z + 1 2z ˆ k ∂ = (2 − 2,−(2 z − 2 z ),0 − 0) =(0,0,0) (3 ptos) ∂z 2 xz + 2 y

C

∫ F ⋅ dr , donde C es una curva que une el origen con el

Rot F = 0 ⇒ F conservativo (2 ptos) b) Busquemos función potencial f
∂f = z 2 + 1 ⇒ f ( x, y, z ) =xz 2 + x + C ( y, z ) ∂x

∂f = 2 z ⇒ f ( x, y, z ) = 2 yz + C ( x, z ) ∂y
∂f = 2 xz + 2 y ⇒ f ( x, y, z ) = xz 2 + 2 yz + C ( x, y ) ∂z

Igualando las tres ecuaciones obtenemos que

f ( x, y, z) = xz 2 + x + 2 yz . (5ptos)

Luego, usando el teorema fundamental de las integrales de línea, tenemos que
(1,1,1)

( 0,0,0 )

∫ F ⋅ dr =

f (1,1,1) − f (0,0,0) = 4

(5ptos)

2. Calculela integral

∫∫ x dxdy
R

, donde R es la región cerrada en el plano acotada

por la curva x = cos t , y = sen(2t ) , − Indicación:

π π ≤t ≤ . 2 2
∂Q ∂P − = x . Use el ∂x ∂y

Encuentreun campo vectorial F ( x, y ) = ( P( x, y ), Q( x, y )) tal que teorema de Green. RESPUESTA Podemos elegir, por ejemplo, Q =
1 2 x y 2 P=0

(5ptos)

Entonces

∫∫ x dxdy
R

=

∫∫
R

∂Q ∂P− dxdy = ∂x ∂y

C

∫ Pdx + Qdy

Si x = cos t , y = sen(2t ) ⇒ dx = − sen t dt , dy = 2 cos(2t ) dt
π 2

C

∫ Pdx + Qdy = ∫πcos
− 2

2

t cos(2t ) dt (5 ptos)
π 2 π 2

π 2

=

−∫π
2

1 + cos(2t ) 1 cos(2t ) dt = 2 2

−

∫πcos(2t ) + cos
2

2

(2t ) dt =

1 2

−

∫π cos(2t ) +
2

1 + cos(4t ) dt 2

1 1 1⎛1 ⎞ = ⎜ sen(2t ) + t + sen(4t ) ⎟ 2 8 2⎝2 ⎠π 2 π 2

=

π 4

(5ptos)

3. Verifique el teorema de Stokes para F ( x, y, z ) = ( x y z , y, z ) y la superficie S dada por la parte del plano 3 x + 4 y + 2 z = 12 , en el primer octante....