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Transformaciones Geométricas

Translación

x’ = x + dx
y’ = y + dy

[pic]

Si definimos los vectores

[pic]

Podemos decir en forma concisa que P’ = P + T . En coordenadas homogéneaspodemos escribir como:

[pic]

Escalamiento

Para el escalamiento podemos hacer

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donde sx representa el factor de escalamiento en x y sy el factor de escalamiento en y.

[pic]Rotación

Para determinar la rotación consideremos un punto que se encuentra a una distancia del origen R y esta distancia forma un ángulo φ con la horizontal.

x = r cos φ
y = r sen φ

Si movemoseste punto un ángulo θ tenemos que

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x’ = r cos (φ+θ) ’ [r cos φ] cos θ − [rsen φ]sen θ
y’ = r sen (φ+θ) ’ [r cos φ] sen θ − [rsen φ]cos θ

Lo cual da como resultado que la matriz derotación para un punto esta dada por

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Representación de transformaciones tridimensionales

La translación, escalamiento, rotación y sesgo en tres dimensiones, es simplemente unaextensión de la que se lleva a cabo en dos dimensiones. Desde este punto de vista podemos representar:

Translación

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Escalamiento

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Rotación

Podemos componer rotacionestridimensionales a partir de las tres matrices de rotación bidimensional sobre cada uno de los ejes x, y, y z.

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Composición de transformaciones tridimensionales

Podemosdescomponer una transformación tridimensional en

M = SRT
Componer una matriz de translación y escalamiento resulta fácil, pero no es el caso de la matriz de rotación. Para la rotación debemos analizar laspropiedades de esta

Para el caso de la matriz R tiene la forma

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podemos mostrar que:

1.- Cada vector ri, tiene magnitud unitaria
2.- Cada uno es perpendicular al otro riT rj=0
3.-La inversa de la matriz es la matriz transpuesta
4.- El determinante de la matriz de rotación es 1.

Ejemplo

Consideremos el caso de calcular la transformación, para llevar los puntos P1...
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