Hola
Páginas: 2 (412 palabras)
Publicado: 13 de junio de 2010
Transformaciones Geométricas
Translación
x’ = x + dx
y’ = y + dy
[pic]
Si definimos los vectores
[pic]
Podemos decir en forma concisa que P’ = P + T . En coordenadas homogéneaspodemos escribir como:
[pic]
Escalamiento
Para el escalamiento podemos hacer
[pic]
donde sx representa el factor de escalamiento en x y sy el factor de escalamiento en y.
[pic]Rotación
Para determinar la rotación consideremos un punto que se encuentra a una distancia del origen R y esta distancia forma un ángulo φ con la horizontal.
x = r cos φ
y = r sen φ
Si movemoseste punto un ángulo θ tenemos que
[pic]
x’ = r cos (φ+θ) ’ [r cos φ] cos θ − [rsen φ]sen θ
y’ = r sen (φ+θ) ’ [r cos φ] sen θ − [rsen φ]cos θ
Lo cual da como resultado que la matriz derotación para un punto esta dada por
[pic]
[pic]
Representación de transformaciones tridimensionales
La translación, escalamiento, rotación y sesgo en tres dimensiones, es simplemente unaextensión de la que se lleva a cabo en dos dimensiones. Desde este punto de vista podemos representar:
Translación
[pic]
Escalamiento
[pic]
Rotación
Podemos componer rotacionestridimensionales a partir de las tres matrices de rotación bidimensional sobre cada uno de los ejes x, y, y z.
[pic]
[pic]
[pic]
Composición de transformaciones tridimensionales
Podemosdescomponer una transformación tridimensional en
M = SRT
Componer una matriz de translación y escalamiento resulta fácil, pero no es el caso de la matriz de rotación. Para la rotación debemos analizar laspropiedades de esta
Para el caso de la matriz R tiene la forma
[pic]
podemos mostrar que:
1.- Cada vector ri, tiene magnitud unitaria
2.- Cada uno es perpendicular al otro riT rj=0
3.-La inversa de la matriz es la matriz transpuesta
4.- El determinante de la matriz de rotación es 1.
Ejemplo
Consideremos el caso de calcular la transformación, para llevar los puntos P1...
Translación
x’ = x + dx
y’ = y + dy
[pic]
Si definimos los vectores
[pic]
Podemos decir en forma concisa que P’ = P + T . En coordenadas homogéneaspodemos escribir como:
[pic]
Escalamiento
Para el escalamiento podemos hacer
[pic]
donde sx representa el factor de escalamiento en x y sy el factor de escalamiento en y.
[pic]Rotación
Para determinar la rotación consideremos un punto que se encuentra a una distancia del origen R y esta distancia forma un ángulo φ con la horizontal.
x = r cos φ
y = r sen φ
Si movemoseste punto un ángulo θ tenemos que
[pic]
x’ = r cos (φ+θ) ’ [r cos φ] cos θ − [rsen φ]sen θ
y’ = r sen (φ+θ) ’ [r cos φ] sen θ − [rsen φ]cos θ
Lo cual da como resultado que la matriz derotación para un punto esta dada por
[pic]
[pic]
Representación de transformaciones tridimensionales
La translación, escalamiento, rotación y sesgo en tres dimensiones, es simplemente unaextensión de la que se lleva a cabo en dos dimensiones. Desde este punto de vista podemos representar:
Translación
[pic]
Escalamiento
[pic]
Rotación
Podemos componer rotacionestridimensionales a partir de las tres matrices de rotación bidimensional sobre cada uno de los ejes x, y, y z.
[pic]
[pic]
[pic]
Composición de transformaciones tridimensionales
Podemosdescomponer una transformación tridimensional en
M = SRT
Componer una matriz de translación y escalamiento resulta fácil, pero no es el caso de la matriz de rotación. Para la rotación debemos analizar laspropiedades de esta
Para el caso de la matriz R tiene la forma
[pic]
podemos mostrar que:
1.- Cada vector ri, tiene magnitud unitaria
2.- Cada uno es perpendicular al otro riT rj=0
3.-La inversa de la matriz es la matriz transpuesta
4.- El determinante de la matriz de rotación es 1.
Ejemplo
Consideremos el caso de calcular la transformación, para llevar los puntos P1...
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