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3. Geometr´a anal´tica ı ı

3.1 El espacio af´n Rn ı
Consideremos el conjunto R , formado por las listas ordenadas (x1 , . . . , xn ) de n´ meros reales. u n Convengamos en llamar puntos a los elementos de R .
n n

Pero recordemos que, en el tema anterior, hemos visto que R es un espacio vectorial (porque sus elementos se pueden sumar y se pueden multiplicar por escalares). n → Dado unpunto P = (p1 , . . . , pn ) del conjunto R y un vector − = (v1 , . . . , vn ) del espacio v n → ´ v a vectorial R , podemos considerar que el vector − actua sobre el punto P , traslad´ ndolo al punto Q = − = (p1 + v1 , . . . , pn + vn ), cuyas coordenadas se obtienen sumando las coordenadas del punto P → P+ v → con las del vector − . v

R

2

Para hacernos una idea intuitiva, observemos lasiguiente figura, en la que, sobre el punto (1, 1) en act´ a el vector (3, 1), para darnos el punto (4, 2). u

4

3

2

1

1

2

3

4

5

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´ Cuando se contempla este tipo de “actuaci´ n” en R se dice que este, R , es un espacio af´n. o ı n Terminolog´a. A los elementos de R como espacio af´n les llamaremos puntos y los denotaremos ı ı → → → mediante letras may´ sculas, P, Q,R, . . . , y a los vectores por letras min´ sculas − , − , − , . . . u u v w x
n n

Es evidente que el espacio af´n R satisface las siguientes propiedades: ı
n n n → → → → → → v w v w v w A-1) Para cualesquiera P ∈ R y − , − ∈ R tenemos que (P + − ) + − = P + (− + − ).

− → A-2) P + 0 = P . A-3) Dados dos puntos P, Q ∈ − → denota mediante P Q. → → ´ Rn , existe un unico vector − ∈ Rn tal queP + − = Q. Este vector se v v

2 → → Ejemplo. Sea P = (0, 2) un punto de R y − el vector (3, −1), entonces el punto P + − tiene por v v coordenadas Q = (0 + 3, 2 − 1) = (3, 1).

2.5 2 1.5 1 0.5 1 -0.5
− → De otra forma: el vector que va de P = (0, 2) a Q = (3, 1) es P Q = (3 − 0, 1 − 2) = (3, −1), que es el → vector − . v Propiedades. Sean P, Q y R puntos de R , entonces
n

2

3

4− → − → − → • P Q + QR = P R. − → • P Q = 0 si y s´ lo si P = Q. o − → − → • P Q = −QP .

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Geometr´a anal´tica ı ı

3.2 Sistema de referencia can´ nico o
Definici´ n 3.2.1 Sean O = (0, 0, . . . , 0) ∈ R y sea {e1 , e2 , ..., en } la base can´ nica de R . Al conjunto o o n S = {O; e1 , e2 , ..., en } se le llama sistema de referencia can´ nico de R y al punto O se le llama origen o delsistema de referencia.
n n

Definici´ n 3.2.2 Llamaremos coordenadas del punto P en el sistema de referencia can´ nico S a las o o − → n coordenadas del vector OP en la base can´ nica de R , {e1 , e2 , ..., en }. o o Proposici´ n 3.2.3 Si las coordenadas de los puntos P, Q ∈ R en el sistema de referencia can´ nico son o − → P = (p1 , p2 , ..., pn ) y Q = (q1 , q2 , ..., qn ), respectivamente,entonces las coordenadas del vector P Q en la base can´ nica son o − → P Q = (q1 − p1 , q2 − p2 , ..., qn − pn ).
n

3.3 Variedad lineal af´n ı
Vamos a definir de una forma m´ s matem´ tica los conceptos de recta y plano que ya conocemos de a a a˜ os anteriores. n Definici´ n 3.3.1 Sea V un subespacio vectorial de o n P ∈ R y de direcci´ n V al conjunto de puntos o
n

Rn . Se denomina variedadlineal af´n que pasa por ı

VP = {Q ∈ R tales que P Q ∈ V } = {P + v tales que v ∈ V }. En otras palabras, es el conjunto de todos los puntos Q tales que el vector que une P con Q pertenece al subespacio vectorial V . Ejemplo. Los ejes coordenados. Dado un sistema de referencia can´ nico de R , S = {O; e1 , e2 , ..., en }, o para cada i = 1, 2, ..., n, consideramos el subespacio de dimensi´ n 1generado por el vector ei de la base, o i o W i =< ei >. Las variedades lineales afines WO , que pasan por el origen con direcci´ n W i , se llaman ejes del sistema de referencia.
n

Ejemplo. Consideramos el subespacio direcci´ n V =< (1, 2, 3), (−1, 0, 1) >, es decir, el subespacio o vectorial generado por los vectores {(1, 2, 3), (−1, 0, 1)}, y sea P = (1, 1, 1). La variedad lineal af´n que ı...