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INTRODUCCION

EL OTRO gran brinco en nuestra concepción de la geometría se dio en 1868, al ser publicados póstumamente las conferencias y los artículos de Georg Riemann. En ellos, el gran matemático alemán expone las ideas básicas de la que ahora conocemos como geometría riemanniana y que provee la base matemática de la teoría general de la relatividad. Aunque la geometría de Riemann puedellegar a ser complicada en extremo, sus ideas básicas son simples y profundas, como todos los grandes conceptos de la ciencia. Vamos a tratar de explicarlos sin ser formales, es decir, sin utilizar el formalismo matemático.

ANTECEDENTES.

Bernhard Riemann (1826-1866) estaba interesado no sólo en espacios planos de dos dimensiones en donde viven el triángulo y el círculo y en los espacios de tresdimensiones en donde viven el cubo y la esfera, e inclusive en los espacios matemáticos de cuatro dimensiones (difíciles de visualizar pero factibles de definir y manipular matemáticamente), sino además estaba interesado en la caracterización mucho más general de espacios n-dimensionales, lo cual hace la metodología Riemanniana mucho más universal que los trabajos previamente publicados.

Sucontribución principal está en su exposición "Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen" (Sobre las Hipótesis detrás de los Fundamentos de la Geometría), conferencia magistral impartida en 1854 a petición del mismo Gauss, en la cual abandona la metodología Euclideana de basar todas las demostraciones sobre las cuales se usa la regla y el compás, redefiniendo a la geometría como elestudio de cartas (manifolds), espacios acotados (bounded) y no-acotados (unbounded) capaces de contener cualquier número de dimensiones, junto con un sistema de coordenadas, y una métrica que define la menor distancia entre dos puntos. En la geometría Euclideana tridimensional, la métrica, antes de que llegara Riemann, estaba inspirada en la definición de la longitud de un infinitésimo de línea dsmediante el sistema de coordenadas Cartesianas de línea de la manera siguiente:
(ds)² = (dx)²+(dy)²+(dz)²

que viene siendo el equivalente (infinitesimal) del Teorema de Pitágoras. Pero Riemann generaliza el concepto de longitud a través de sus cartas, y esas "cartas" son lo que define completamente al espacio, sin ningún marco externo de referencia. Podemos llamarlo "geometría diferencialllevada al extremo".

Antes de continuar hablando acerca de la geometría generalizada desarrollada por Riemann, es importante hacer una mención somera sobre esa rama de las matemáticas cuyos principios fueron tomados primero por Gauss y después por Riemann para ser ampliados de manera espectacular: la geometría diferencial. Cuando esta materia empezó a tomar forma, se tuvo que empezar con elestudio de algo más sencillo antes de que esta nueva materia de estudio fuera generalizada a cosas más elaboradas. Y en este caso, se tuvo que comenzar con el estudio de las curvas antes de escalar al estudio de las superficies.
Previamente, en la geometría analítica inventada por Descartes combinando la geometría Euclideana y el álgebra, el concepto de una línea curva capaz de salir fuera del planohacia tres dimensiones (conocida como curva alabeada) era algo que a través de la geometría analítica se acostumbraba describir haciendo alguna referencia externa a la curva, y al decir externa nos estamos refiriendo a un sistema de coordenadas (como las coordenadas rectangulares cartesianas con ejes x, y y z, o las coordenadas polares, siempre referidas a un punto de origen O externo a la curva quese está describiendo). Por ejemplo, para describir una curva helicoidal (una curva en el espacio con forma de resorte) a través de un sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones, la imagen mental que se tiene de dicha descripción es la siguiente:

cuyo trazo en tres dimensiones se obtiene mediante un sistema de ecuaciones como el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas:

y...
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