Holaa

Grupo 6

Reyes Asensio Yuste

Mª Amparo Cervera Rodríguez

Laura

Teoría de errores

1.1. Introducción.
En el campo de la ingeniería y ciencias, existen infinidad de fenómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos. Desafortunadamente, la gran mayoría de estos modelos no tiene una solución exacta ó no es fácil el hallarla. Es estos casos es en donde los métodosnuméricos proporcionan una solución aproximada al problema original. Un método numérico es aquel que obtiene números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema.

1.2. Aproximación numérica y teoría de errores
Debemos conformarnos siempre, en la práctica de la ingeniería y de las ciencias, con una solución aproximada a un problema por las siguientesrazones:
Los modelos matemáticos son aproximados; esto es; simplificaciones al problema real. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenómeno.
Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición. También pueden provenir decálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto del método como del instrumento de cálculo que se utilicen.
Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente.
Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrán presentes errores, estos pueden clasificarse en: errores inherentes,errores de truncamiento, errores de redondeo…

1.2.1. Error
El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va :
e = Vr - Va
1.2.2. Error relativo
El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr (sí [pic]):
[pic]

1.2.3. Error porcentual
El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por ciento(%).
[pic]
También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.

1.2.4. Errores inherentes
Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto alinstrumento de medición, como a las condiciones de realización del experimento. Por ejemplo, sí el experimento es a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. También pueden deberse a que se obtengan de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un número irracional como[pic] ó [pic].

1.2.5. Errores de truncamiento
Los errores de truncamiento se originanpor el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita:
[pic]
Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente unerror, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

1.2.6. Errores de redondeo
Los errores de redondeo, se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como losproductos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se este utilizando. Por ejemplo al calcular el valor de [pic], tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3, que maneje nuestro instrumento de calculo.
Existen dos tipos de errores de redondeo:
• Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que...