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Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes {draw:frame} y {draw:frame} , yla medida de la hipotenusa es {draw:frame} , se establece que:
{draw:frame}
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
{draw:frame}
Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado cformando la figuramostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
{draw:frame}
Ya que {draw:frame} .
Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de élmás el área del cuadrado menor:
{draw:frame}
Con lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos_a__’_ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus ladosperpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC:
{draw:frame}
{draw:frame}
De la semejanza entre ABC y BHC:
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Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
{draw:frame}
Pero {draw:frame} , por lo que finalmente resulta:
{draw:frame}

La relación entre las superficies de dos figurassemejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
{draw:frame}
siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos larelación entre sus superficies:
{draw:frame}
{draw:frame}
obtenemos después de simplificar que:
{draw:frame}
pero siendo {draw:frame} la razón de semejanza, está claro que:
{draw:frame}
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCHtenemos que:
{draw:frame}
que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
{draw:frame} (I)
y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:
{draw:frame}
{draw:frame}
pero según (I) {draw:frame} , así que:
{draw:frame}
y por lo tanto:
{draw:frame}
quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centroy a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.
Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.
Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados iguales:...