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Baricentro


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En geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal, que cualquier recta que pasa por él, divide a dicho segmento en dos partes deigualmomento respecto a dicha recta. En física, el baricentro de un cuerpo material coincide con el centro de masas del mismo cuando el cuerpo es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.
Índice
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1 Cálculo del baricentro
2 Conceptos relacionados
3 Baricentros en algunas figuras geométricas
4 Propiedadesalgebraicas
4.1 Ejemplos de demostración
5 Cálculo geométrico del baricentro
6 Véase también
Cálculo del baricentro[editar · editar fuente]
Sean A1,... An n puntos, y m1,... mn n números (m como masa). Entonces el baricentro de los ( Ai, mi) es el punto G definido como sigue:

Esta definición depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o del espacio, se obtienenlas coordenadas del baricentro como promedio ponderado por los mi de las coordenadas de los puntos Ai:

La definición anterior no equivale a la fórmula siguiente, mucho menos práctica para el cálculo vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):

Conceptos relacionados[editar · editar fuente]
Un isobaricentro (iso: mismo) es un baricentro con todas las masas igualesentre sí; es usual en tal caso tomarlas iguales a 1. Si no se precisan las masas, el baricentro es por defecto el isobaricentro.
El baricentro coincide con el concepto físico de centro de masa de un cuerpo material en tanto que el cuerpo sea homogéneo.
Baricentros en algunas figuras geométricas[editar · editar fuente]


Baricentros, G, de una recta, un triángulo y un tetraedro.
Elbaricentro o eje de masas de un segmento {A, B} se encuentra en el centro [A;B].
El baricentro de un triángulo de vértices {A, B, C} se encuentra en la intersección de las tres medianas del triángulo. En ese mismo punto se encuentra también el baricentro de la superficie del triángulo [ABC]
El baricentro de un tetraedro de vértices {A, B, C, D} es el centro de masas, si su densidad es uniforme.Corresponde al punto donde se cortan los segmentos que unen cada vértice con el isobaricentro de la cara opuesta.
Se puede generalizar lo anterior en cualquier dimensión.
La coincidencia del baricentro y el centro de masa permite localizar el primero de una forma sencilla. Si tomamos una superficie recortada en una cartulina y la sujetamos verticalmente desde cualquiera de sus puntos, girará hasta que elcentro de gravedad (baricentro) se sitúe justamente en la vertical del punto de sujeción; marcando dicha vertical sobre la cartulina y repitiendo el proceso sujetando desde un segundo punto, encontraremos el baricentro en el punto de intersección.
El baricentro G de (A, a) y (B, b) con a y b cualesquiera, está ubicado en la recta (AB). Si a y b son ambos positivos, G pertenece al segmento [A,B].En este caso los coeficientes a y b se pueden leer en el gráfico. Por ejemplo:

Y por lo tanto G = bar{ (A, 7), (B, 5) }. Basta pues con permutar las longitudes del gráfico para obtener las masas de los puntos.
El baricentro G de tres puntos del espacio (A, a), (B, b) y (C, c) con a, b y c cualesquiera está ubicado en el plano (ABC). Si son todos positivos, G pertenece al triángulo ABC. Porsupuesto, estas propiedades se generalizan a todas las dimensiones.
Propiedades algebraicas[editar · editar fuente]
Las propiedades algebraicas del baricentro son:
Homogeneidad: no cambia el baricentro si se multiplica todas las masas por un mismo factor k ≠ 0.
Formalmente: bar { (A1, m1), ..., (An, mn) } = bar { (A1, km1), ..., (An, kmn) }.
Asociatividad: el baricentro se puede calcular...