Hornos de hitler

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Introducción

El teorema de Pitágoras es el más conocido de la Geometría. Esta relación era conocida por los Babilonios en 1700 A.C. (Resnikoff and Welles, 1884), aunque se atribuye a Pitágoras de Samos (c. 585 – 500 A. C.). Además, distintas culturas han dejado testimonio de que la conocían (Boyer and and Merzbach, 1989; Heath, 1981).

En su versión más conocida, el Teorema de Pitágorasexpresa que en un triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

c2 = a2 + b2 (1)

en que c = longitud de la hipotenusa

a = longitud del primer cateto

b = longitud del segundo cateto

En la ecuación (1), es conveniente llamar "suma" a c2 y "sumandos" a a2 y b2.

Esta misma expresión representa laecuación de la circunferencia en la geometría analítica, y es la base de la circunferencia trigonométrica. Tiene, además, una vasta utilización en el Álgebra. La aplicación del teorema de Pitágoras abarca muchas disciplinas científicas, como se resume en el libro "Desde Pitágoras hasta Einstein" (Friedrichs, 1965). El teorema de Pitágoras fue fundamental para la Aritmética, ya que permitiódescubrir los números irracionales (que no tienen raíz cuadrada exacta).

El número de demostraciones del Teorema de Pitágoras muy grande, y esta breve contribución sólo tratará de los números racionales enteros que cumplen con la ecuación (1), que se denominan números pitagóricos. Como se presentan en grupos de a tres, reciben el nombre de "ternas pitagóricas", de las cuales hay ternas pitagóricasprimitivas y derivadas. Estas últimas se obtienen a partir de las primeras.

El descubrimiento de las ternas pitagóricas primitivas de valores bajos debe haberse realizado sin duda por prueba y error. Las ternas derivadas pueden obtenerse desde las ternas primitivas por un procedimiento sencillo. Así, si se multiplican los términos de la ecuación (1) por n (un número entero) se obtiene:

nc2 = na2+ nb2 (2)

lo que conduce a que hay infinitos números y ternas pitagóricas.

Las ternas pitagóricas primitivas tienen una propiedad interesante: los números pares pueden construirse multiplicando cualquier número (par o impar) por dos, pero 2 es un número irracional, cuya irracionalidad se demuestra por reducción al absurdo (Guedj, 1998).

Los números pares pueden construirse también por lasuma de dos números pares o por la suma de dos números impares. Un número racional puede ser representado por una fracción que no pueda reducirse más, por lo que una terna pitagórica primitiva debe estar constituida por dos números impares y un número par (si se divide c2 por (a2 + b2) y resulta un número par, entonces es posible todavía reducir más la expresión). Para una terna pitagóricaprimitiva la "suma" siempre debe resultar impar y los sumandos deben ser un cuadrado par y un cuadrado impar. Como se verá posteriormente, esta propiedad facilita mucho la obtención de ternas pitagóricas primitivas, ya que si n es impar se mantiene la paridad en la ecuación (2), y si n es par, todos los términos de la ecuación (2) son pares y se está tratando con una terna pitagórica derivada.

Eladvenimiento de las calculadoras y ordenadores hace el problema de encontrar ternas pitagóricas (primitivas y derivadas) aparentemente trivial, pero no es fácil encontrar un listado de ternas pitagóricas. Como en la Antigüedad, se requiere repetir muchos cálculos tediosos para obtenerlas, una necesidad imperiosa para los estudiantes, que deben responder a sus deberes escolares no teniendo tiempo paracalcular por prueba y error o por el recurso de programar un ordenador. Es sorprendente que la inspección de una variedad de libros no es fructífera, y que la búsqueda en INTERNETresulta en algunas páginas útiles, pero que contienen un número muy reducido de ternas, al mismo tiempo que algunas de ellas contienen evidentes errores o se alejan mucho del tema (los números y ternas pitagóricas...
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