Identity Matrix Exercises Es

Matriz identidad y su propiedad principal
Objetivos. Dar la definici´on de la matriz identidad y establecer su propiedad principal.
Requisitos. Notaci´on para entradas de matrices, producto dematrices, la delta de Kronecker.

Definici´
on del producto de matrices (repaso)
1. Sea A ∈ M3×4 (R) y sea B ∈ M4×5 (R):




B1,1
 B2,1
B=
 B3,1
B4,1



A1,1 A1,2 A1,3 A1,4

A = A2,1 A2,2 A2,3 A2,4 ,
A3,1 A3,2 A3,3 A3,4

B1,2
B2,2
B3,2
B4,2

B1,3
B2,3
B3,3
B4,3

B1,4
B2,4
B3,4
B4,4


B1,5
B2,5 
.
B3,5 
B4,5

Entonces
AB ∈

.
?

Escriba la f´ormula para la entrada de AB que est´a en elsegundo rengl´on y primera
columna:
(AB)2,1 =

+

+

+

=

Escriba la f´ormula para la entrada de AB con ´ındices (3, 1):
(AB)3,4 =
Y otra m´as:
(AB)1,2 =
2. Definici´
on general del producto de matrices.Sean A ∈ Mm×n (R) y sea B ∈ Mn×p (R). Entonces
AB ∈

.
?

La entrada de la matriz AB ubicada en la posici´on (i, j) se calcula por la f´ormula
(AB)i,j =
donde
i ∈ 1, . . . ,

,
?

j∈

.
?

Matrizidentidad y su propiedad principal, p´agina 1 de 6

.

Delta de Kronecker y su propidad principal (repaso)
3. Definici´
on de la de delta de Kronecker. Escriba la definici´on de la delta de
Kronecker:
,si i = j;
, si i = j.

δi,j =

4. Escriba todos los sumandos y simplifique el resultado:
5

2k δk,4 =
k=1

5. Escriba todos los sumandos y simplifique el resultado:
4

aj δj,4 =
j=1

6. La propiedadprincipal de la delta de Kronecker. Sea p ∈ {1, . . . , n}. Escriba la
f´ormula general:
n

ak δk,p =

.

k=1

Sugerencia: n´otese que k es una variable muda y no puede aparecer en la respuesta.
7.Partir la suma en dos partes para demostrar la propiedad principal de la
delta de Kronecker. Consideremos un caso particular: n = 5, p = 2. Representamos el
conjunto {1, 2, 3, 4, 5} como una uni´ondisjunta de la siguiente manera:
{1, 2, 3, 4, 5} = {2} ∪ {

,

,

},

,

y partimos la suma de manera correspondiente. La primera parte tiene s´olo un sumando
sumandos:
(correspondiente a k = 2), y la...