igualdad y semenjanza de triangulos

 [editar] Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.
H)
ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M
T)
D)


[editar] Primer caso
r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.
Haremosuna primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):
por carácter reflejo
por ser correspondientes entre r || BC, secante AB
por ser correspondientes entre r || BC, secante AC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teoremade Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en se obtiene:

De y se obtiene la consideración que llamaremos (2):

Luego de (1) y (2), resulta:
por definición de semejanza.
[editar] Segundo caso
r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.
ConsideramosBLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:
por carácter simétrico.
[editar] Tercer caso
r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmentoconstruido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.
Quedan entonces por el caso I, semejanza que llamaremos .
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:
BN=BM por construcción
α=α' por ser opuestos por el vértice.
β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante MN
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer corolario de la definición.
De y , y por caráctertransitivo:
BAC ~ BLM BLM ~ BAC
[editar] Geometrías no-euclídeas
La posibilidad de aumentar el tamaño de una figura sin modificar su forma es tan obvia y natural que durante milenios se pensó que era una consecuencia de los axiomas de la geometría, y se trató en vano de demostrarlo desde la Grecia antigua. Sin embargo, al estudiar otras geometrías, las no euclidianas, los matemáticos del siglo XIX,entre ellos Bernhard Riemann y Nikolái Lobachevski se dieron cuenta que esto sólo sucedía en los espacios euclídeos, es decir, sin curvatura.

Se puede definir una geometría sobre la esfera, por ejemplo: Los segmentos son los caminos más cortos que unen sus extremos y las rectas son las líneas geodésicas, a semejanza de los ecuadores de la esfera. El análogo de una homotecia se construye así:se escoge un punto O de la superficie como centro de la homotecia, y para definir la imagen de otro punto A se traza la geodésica que pasa por O y A (que es única si A no es el punto diametralmente opuesto a O), consideramos que O es el origen de esta línea y A el punto de abscisa 1. La imagen A' será el punto de abscisa k, donde k es la razón de la homotecia. En la figura se ha tomado k = 3 y sehan construido las imágenes de B y C también.


Triángulos semejantes en la geometría de Riemann.
Se observa que la imagen del "triángulo" ABC es el "triángulo A'B'C', es decir que los catetos A'B', A'C' y B'C' son segmentos de líneas geodésicas, y que A'B'C' merece ser llamado triángulo semejante (por no decir homotético) al triángulo ABC.
Al aplicar la construcción precedente al pequeñotriángulo ABC de la superfice de la esfera (pequeño en comparación con el diámetro), la suma de sus ángulos será ligéramente superior a π radianes (180º), pero el triángulo A'B'C' tendrá ángulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que π radianes, como se ve en la figura. El aumento de tamaño implica aquí claramente un cambio de forma.
En conclusión, los triángulos semejantes permiten...