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DECIMO-CUARTO PROGRAMA DE TITULACION PROFESIONAL POR ACTUALIZACION DE CONOCIMIENTOS EN INGENIERIA ELECTRONICA

CURSO:
TECNICA DE CONTROL AVANZADO DIGITAL

TAREA 01

Prof.:
Ing. José Ambrosio Machuca Mines

Alumno:

2010

Pregunta 01
Sea el sistema de control en tiempo discreto representado mediante el diagrama de bloques:

Donde:
Gh0s=1-e-sTs
Gcs=Kis
Gps=2s+1(s+2)GDz=KiT2×(1+z-11-z-1)
T=0.4 seg
Se pide:
A.- determinar la función de transferencia pulso del sistema de lazo cerrado en términos de z y de Ki.
Del Diagrama de Bloques tenemos:
U(s) Gc(s)E *(s) _ U *(s) Gc *(s)E *(s)
Y(s) Gh0(s)·Gp(s)·U *(s) _ Y *(s) [Gh0·Gp]*(s)·U *(s)
Juntando y aplicando la Transformada Z:
Y (z) G(z)·Gc(s)·E(z) donde G(z) [Gh0·Gp](z)
Como el retenedor es de orden cero(ZOH), podemos usar la siguiente fórmula:

El G(z) con retenedor de orden cero es:
Gz=1-z-1ZGpss=1-z-1Z2ss+1(s+2)
Con ayuda del MATLAB determinamos G(z) para:
Gps=2s2+3s+2, T=0.4 seg y retenedor de orden cero:
>> T=0.4
>> N=[2]
>> D=[1 3 2]
>> [Nz Dz]=c2dm(N,D,T,'zoh')
Nz =
0 0.1087 0.0729
Dz =
1.0000 -1.1196 0.3012

Entonces:Gz=0.1087z+0.0729z2-1.1196z+0.3012

Por dato la función del controlador Gc(s) en el dominio Z será usando la integración trapezoidal (tustin):

Gcz=KiT2×(1+z-11-z-1)
La función de transferencia es:
Y(z)R(z)=GdzG(z)1+GdzG(z)

La multiplicación seria:
Gd(z)G(z) = Ki×0.42×(z+1z-1)×0.1087z+0.0729z2-1.1196z+0.3012

Gd(z)G(z) =0.2Ki×0.1087z2+0.1816z+0.0729z3-2.1196z2+1.4208z-0.3012=Ki×0.02174z2+0.03632z+0.01458z3-2.1196z2+1.4208z-0.3012

Reemplazando en la ecuación de la función de transferencia tenemos:

Y(z)R(z)=Ki×0.02174z2+0.03632z+0.01458z3-2.1196z2+1.4208z-0.30121+Ki×0.02174z2+0.03632z+0.01458z3-2.1196z2+1.4208z-0.3012

Finalmente la función de transferencia es:

Y(z)R(z)=Ki(0.02174z2+0.03632z+0.01458)z3+0.02174Ki-2.1196z2+1.4208+0.03632Kiz+0.01458Ki-0.3012

B.-utilizando la prueba de estabilidad de Jury determinar el rango de Ki para que el sistema sea estable, indicando el límite inferior de Kimin y el límite superior Kimax.

Para aplicar el criterio de estabilidad de Jury necesitamos la ecuación característica del sistema:

Ec. Característica = 1+GDzGz=1+{Ki×0.42×z+1z-1}×0.1087z+0.0729z2-1.1196z+0.3012

F(z) =1+Ki×0.02174z2+0.03632z+0.01458z3-2.1196z2+1.4208z-0.3012
F(z) = z3+0.02174Ki-2.1196z2+1.4208+0.03632Kiz+0.01458Ki-0.3012z3-2.1196z2+1.4208z-0.3012

Para la estabilidad F(z)

F(z)= z3+0.02174Ki-2.1196z2+1.4208+0.03632Kiz+0.01458Ki-0.3012
F(z) = a0z3+a1z2+a2z+a3

Igualando:

a0 = 1
a1 = 0.02174Ki – 2.1196
a2 = 0.03632Ki + 1.4208
a3 = 0.01458Ki – 0.3012

Para un sistema de tercer orden la tabla de Jury es:

n | Z0 | Z1 | Z2| Z3 |
1 | a3 | a2 | a1 | a0 |
2 | a0 | a1 | a2 | a3 |
3 | b2 | b1 | b0 | |

Donde:

b2=a3a0a0a3=a32-a02=(0.01458Ki – 0.3012)2-1

b2=0.0002Ki2-0.0088Ki-0.9093

b1=a3a1a0a2=a3a2-a0a1=0.01458Ki – 0.30120.03632Ki + 1.4208-(0.02174Ki – 2.1196)

b1=0.005Ki2-0.01194Ki+1.6917

b0=a3a2a0a1=a3a1-a0a2=0.01458Ki – 0.30120.02174Ki – 2.1196-(0.03632Ki + 1.4208)

b0=0.0003Ki2-0.07382Ki-0.7824

Según el criterio de Jury, tenemos:

1.- a3<a0
Entonces: 0.01458Ki – 0.3012<1
-1< 0.01458Ki – 0.3012 <1
Queda:
-47.9287< Ki <89.2455

2.- F(1) >0
Entonces:
F(1) = a0 + a1 + a2 + a3 >0
F(1) = 1 + 0.02174Ki – 2.1196 + 0.03632Ki + 1.4208 + 0.01458Ki – 0.3012 > 0
F(1) = 0.0726Ki > 0
Queda:
Ki > 0

3.- como n=3 (impar)
F(-1) < 0
F(-1) =-a0 + a1 –a2 + a3
F(-1) = -1 + 0.02174Ki - 2.1196 - 0.03632Ki - 1.4208 + 0.01458Ki – 0.3012
F(-1) = -4.8416 < 0

4.- b2>b0
2.1258×10-4Ki2-8.873×10-3Ki-0.9093 >3.1639×10-4Ki2-0.07376Ki- 0.7824
(b0 – b2)(b0 + b2) < 0
(0.0001Ki2-0.06502Ki+0.1269)( 0.0005Ki2-0.0826Ki-1.6917) < 0
(Ki-1.9576)(Ki-648.2424)(Ki-183.6255)(Ki+18.4255) < 0
Queda:

-18.4255 < Ki <...
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