Impropia

sFunci´n no Acotada en uno o en los dos extremos del Intervalo de Integraci´n o o Si f (x) est´ definida sobre (a, b] y si f (x) → ∞ cuando x → a, se define a
b b

f (x) d x = lim
a

ε→0+

f (x) d x
a+ε

Si f (x) est´ definida sobre [a, b) y si f (x) → ∞ cuando x → b, se define a
b b−ε

f (x) d x = lim
a

ε→0+

f (x) d x
a

Si f (x) est´ definida sobre (a, b) y si f (x) → ∞cuando x → a y cuando a x → b, se define
b c b−ε2

f (x) d x = lim
a ε1

→0+

f (x) d x + lim
a+ε1 ε2

→0+

f (x) d x
c

Si f (x) est´ definida sobre [a, c) y sobre (c, b] y si f (x) → ∞ cuando x → c, a se define
b c−ε1 b

f (x) d x = lim
a

ε1 →0+

f (x) d x + lim
a

ε2 →0+

f (x) d x
c+ε2 1 / 21

Convergencia si se conoce la primitiva

b

Sea F (x) la funci´nprimitiva de o
a+ε b a+ε

f (x) d x, entonces

f (x) d x = [F (x)]b = F (b) − F (a + ε) a+ε

por lo tanto
b ε→0+

lim

f (x) d x = lim [F (b) − F (a + ε)]
a+ε ε→0+

luego • si lim F (a + ε), existe y es finito: la integral es convergente.
ε→0+

• si lim F (a + ε), existe y es infinito: la integral es divergente.
ε→0+

• si lim F (a + ε), no existe: la integral no tiene sentido.
ε→0+An´logas consideraciones se realizan en los otros casos. a

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Convergencia si se conoce la primitiva(2)

En el caso que exista funci´n primitiva, y esta sea continua en el punto a, o respectivamente en el b, se puede aplicar la regla de Barrow. 1 d x, estudiar su convergencia. 1−x 0 Esta integral presenta un punto en el que la funci´n no est´ acotada: x = 1, o a √ I = =
1−ε 1 1 √ dx = lim dx = ε→0 0 1−x 1−x 0 1−ε √ √ √ lim −2 1 − x = lim −2 1 − 1 + ε − −2 1 − 0 = 2 1 1

•

√

ε→0

0

ε→0

en este caso la funci´n primitiva es continua en x = 1, luego pod´ o ıamos haber aplicado la regla de Barrow.

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Convergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo. Si se trata de que la funci´n se hace infinito en el punto x = a, se recurre a las ointegrales tipos que veremos a continuaci´n: o
b

•
a+ε b

1 dx = (x − a)m

1 (1 − m) (x − a)m−1

b

m=1
a+ε

•
a+ε

1 d x = [log (x − a)]b a+ε (x − a)
b m−1 a+ε

de donde
b

m=1:

ε→0+

lim

a+ε

1 dx (x − a)m

= lim ⇒

1

ε→0+

(1 − m) (x − a) m>1 divergente m < 1 convergente

b

m=1:

ε→0+

lim

a+ε

1 dx (x − a)

= lim [log (x − a)]b ⇒ divergentea+ε
ε→0+

Si se trata de que la funci´n se hace infinito en el punto x = b, se recurre a o
b−ε

•
a b−ε

•
a

1 1 dx = − (b − x)m (1 − m) (b − x)m−1 1 d x = − [log (b − x)]b−ε a (b − x)

b−ε

m=1
a

obteni´ndose los mismos resultados que en el caso anterior. e
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Convergencia si no se conoce la primitiva: Integrales tipo.

Si f (x) → ∞ en x = a o x = b y no se conoce unaprimitiva de f (x), si podemos expresar f (x) respectivamente en la forma f (x) = g (x) ; (b − x)n f (x) = g (x) (x − a)n

en los casos que sea n < 1 y g (x) una funci´n acotada superiormente en el o intervalo [a, b], ∀x ∈ [a, b] es g (x) < M, la integral es convergente:
b b

f (x) d x =
a a

g (x) dx < M (b − x)n

b a

1 (b − a)−n+1 n dx = M (b − x) 1−n

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Aplicaci´n de lasIntegrales Tipo. o Para la convergencia: Si: f (x) est´ definida sobre (a, b], a f (x) → ∞ cuando x → a, y es f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b] ,
b

0 ≤ f (x) <

k , (x − a)m

m 0.
1

Estudiar la convergencia de
0

x p−1 (1 − x)q−1 d x x p−1 (1 − x)q−1 = +∞ (1 − x)q−1 = 1

Presentan problema los puntos: x = 0 si p − 1 < 0 x = 1 si q − 1 < 0, ya que
x→0+

lim

x p−1 (1 − x)q−1 = +∞,x→1−

lim

mas
x→0+

lim

x 1−p x p−1 (1 − x)q−1 = lim

x→0+

por lo que si 1 − p < 1 → p > 0 existe convergencia.
x→01−

lim

(1 − x)1−q x p−1 (1 − x)q−1 = lim

x→1−

x p−1 = 1

por lo que si 1 − q < 1 → q > 0 existe convergencia.
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Ejemplos

Estudiar la convergencia de
0

π 2

log sen x d x

Presenta problema en el punto x = 0, en el que
x→0+

lim...