Independencia en probabilidad

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO

Colegio de Ciencias y Humanidades
Plantel Azcapotzalco

Turno: Matutino
Estadística y Probabilidad I
UNIDAD III
Independencia
Profesor: Venegas Rico Gonzalo
Alumna: Núñez Rivero María Magdalena

Grupo: 584

17/Noviembre/2010

Introducción
Existe una variedad de procedimiento para el procesamiento probabilístico de datos, una vezrecogidos los datos, procesados y convertidos en información valiosa para el estudio que se realiza, pueden utilizarse varias técnicas que permitan sacar el máximo provecho de la información disponible.
Como ya se vio en el tema de probabilidad condicional en ocasiones un evento o más eventos dependen de otro evento previo, es decir, un evento A ocurre dado que ocurrió un evento B. Si existe este tipo derelación entre eventos se dice que son eventos condicionados (el evento A depende del evento B). Por otro lado, si no existe tal relación entre eventos se dice que son eventos independientes.
Por lo general las proposiciones que aparecen en un problema y que no están relacionadas entre si, muestran la propiedad que denominaremos independencia, esto quiere decir que unas proposiciones no influyenen las otras.
En este trabajo se desarrolla el tema de Independencia en la probabilidad, así como la fórmula que maneja para su definición y algunos ejemplos.




Independencia
Supongamos que se sabe que la probabilidad de A dada la de B es igual a la probabilidad de A. ¿Qué se podría concluir respecto de los eventos A y B? ¿El hecho desaber que el evento B ha ocurrido, afecta de algún modo la probabilidad de A? La situación anterior conduce a la necesidad de definir otro tipo de eventos: si A y B son eventos independientes, entonces P (A|B)=P(A).
Se dice que un evento B es independiente de un evento a si la probabilidad de que B suceda no esta influenciada porque A haya o no sucedido. En otras palabras, si la probabilidad de Biguala la probabilidad condicional de B dado A: P(B)=P(B|A).
Definición:
A y B son eventos independientes si y solo si
P(A∩B)=P(A)P(B)

La independencia de sucesos es algo muy importante para la estadística y es condición necesaria en multitud de teoremas. Por ejemplo, una de las propiedades que se deriva de la definición de sucesos independientes es que si dos sucesos son independientesentre sí, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.
Si A y B son eventos independientes y P(A)≠ 0 y P(B)≠ 0, entonces P(A|B)= P(A) y P(B|A)=P(B)

Demostración: Por la definición de probabilidad condicional, se tiene
PAB=P(A∩B)P(B)
Puesto que A y B son eventos independientes,
P(A∩B)=PAPB.
Así que,
PA|B=PAP(B)P(B)=P(A).
De manera semejante, PBA=PB.
SiA y B son eventos independientes, entonces
PA∪B=PA+PB-PAPB
A∪B=A∪A∪B
B=A∩B∪A∩B.
Entonces, PA∪B=P(A∪A∩B)
También, PB=PA∩B∪A∩B
=PA∩B+P(A∩B)
Así que, PB-PA∩B=P(A∩B)
Sustituyendo por PA∩B en PA∪B=PA+ P(A∩B),
Tenemos PA∪B=PA+PB-P(A∩B)

Ejemplos:

1. Lánceseuna moneda corriente tres veces; obtenemos el espacio equiprobable
S=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT

H=cara
T=cruz
Consideremos los eventos

A=primeros lanzamientos son caras
B=segundos lanzamientos son caras
C=exactamente se lanzan dos caras seguidas

Claramente A y B son eventos independientes; este hecho se verifica en seguida. Por otra parte, la regla entre A y C o B y C no esobvia. Insistimos en que A y C son independientes, pero que B y C son dependientes. Tenemos

PA=PHHH,HHT,HTH,HTT=48=12

PB=PHHH,HHT,THH,THT=48=12

PC=PHHT,THH=28=14

PA∩B=PHHH,HHT=14 , PA∩C=PHHT=18
PB∩C=PHHT,THH=14
En consecuencia
PAPB=12*12=14=PA∩B, y así A y B son independientes;
PAPC=12*14=18=P(A∩C), y así A y B son independientes;
PBPC=12*14=18≠P(B∩C), y así...