Independencia lineal

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INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del álgebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado deindependencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

¿Existe una relación especial entre los vectores v1=12 y v2=242? Por supuesto, se puedeapreciar que v2 = 2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera.
2v1-v2 =0
En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v y v, (es decir, donde loscoeficientes en la combinación lineal no son ambos cero).
¿Qué tienen de especial de los vectores v1=123. v2=-415. Y v3=-5819? La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo,es sencillo verificar v3-3v1 + 2v2; rescribiendo esto se obtiene.
3v1+2v2 -v3 =0
Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2 y v3 Parece que los dos vectores en laecuación (1) y los tres vectores en la ecuación (2) tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores o una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores sonlinealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición que a continuación se presenta.
Dependencia e Independencia Lineal
Sea V un espacio vectorial y sean v1 . . . , vm 2V . Se dice que la familia de vectores S = {v1, . . . , vm} es linealmente dependiente si existen a1, . . . , am 2 K, no todos nulos, tales que: a1v1 + a2v2 + · · · + amvm =0 o, dicho de otro modo, siexiste un vector vi 2 S que se puede poner como combinación lineal del resto.

Se dice que el conjunto de vectores S = {v1, . . . , vm} es linealmente independiente si no es linealmentedependiente, esto es, de ser cierta la igualdad a1v1 + a2v2 + · · · + amvm =0, entonces a1 = · · · = am = 0. Esto equivale a decir que ningún vector de S se puede poner como combinación lineal del resto....
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