Inducción matemática

Principio de la Inducción Matemática
“¿Cómo se debe emplear la Inducción en las Matemáticas para llegar siempre a una conclusión verdadera?”

Las proposiciones son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos. En matemáticas existen proposiciones que pueden ser generales o particulares.
Unos ejemplos de proposiciones generales pueden ser “A todos los niños les gustan los juguetes”, “Todoslos números que terminan en 2 son divisibles por 2”, “En todo círculo, el diámetro mide el doble del radio”.
Ahora, ejemplos de proposiciones particulares pueden ser: “A Ángel le gustan los juguetes”, “5652 es divisible por 2”, “El círculo de 6cm de diámetro tiene 3cm de radio”.
El paso que se sigue para llegar de una proposición general a una particular se conoce como “Deducción”. Por ejemplo:1-“A Todos los niños les gustan los juguetes”
2-“Ángel es un niño”
3-“A Ángel le gustan los juguetes”
Es decir, la proposición número 3 fue deducida de la proposición número 1 con la ayuda de la proposición número 2.
Además, también se puede llegar de una proposición particular a una proposición general y esto es lo que se conoce como “Inducción”. Sin embargo, la inducción puede llevar aconclusiones tanto verdaderas como falsas., por ejemplo:
1- “5652 es divisible por 2”
2- “Todos los números que terminan en 2 son divisibles por 2”
De una proposición particular se ha obtenido una proposición que es verdadera.
Otro ejemplo:
1-“5652 es divisible por 2”
2-“Todos los números de 4 dígitos son divisibles por 2”
De una proposición particular se ha obtenido una proposición que esfalsa.
Así pues, es como debemos preguntarnos “¿Cómo se debe emplear la Inducción en las Matemáticas para llegar siempre a una conclusión verdadera?”.

Para explicar lo anterior veremos dos ejemplos de inducción inadmisible en las matemáticas:
Si tenemos el trinomio x2 + x + 41 estudiado ya antes por L. Euler. al remplazar la “x” por cualquier número entero positivo (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9….)siempre se obtiene como resultado un número primo (41,43,47,53,61,71,83,97,113,131…).
Aunque el ejemplo anterior parece ser casualmente verdadero, nos encontramos con la sorpresa de que se trata de una proposición falsa, es decir, pareciera ser una proposición general verdadera., pero en realidad solo se trata de algunas proposiciones particulares verdaderas ya que al sustituir la “x” por elnúmero 41 obtenemos como resultado el número compuesto 1763., ya que este es divisible entre el 1, 1763 y el 41. Aunque la expresión mencionada anteriormente es verdadera en 40 casos particulares no lo es en general.
Veamos ahora otro ejemplo:
G. W. Leibnizt, matemático Alemán del siglo XVII y uno de los fundadores de las Matemáticas superiores, demostró que siendo “n” cualquier número enteropositivo y “k” cualquier número impar en la expresión nk - n, “n” es divisible por “k”. Ejemplo: n3 - n es divisible por 3, n5 - n es divisible por 5, n7 - n es divisible por 7. Pero, observó que 29 - 2 = 510 y este no es divisible por 9.
Con los ejemplos anteriores podemos llegar a una conclusión: “Una proposición puede ser válida en varios casos particulares y no serlo en general”. Sin embargo, estaconclusión genera otra pregunta “¿Cuándo se puede afirmar que una proposición es válida en general?”, para conocer la respuesta a esta pregunta surgió el razonamiento especial conocido como “Método de Inducción Matemática”.
Con lo mencionado anteriormente podemos definir que el “Principio de la Inducción Matemática” es un método usado para saber si una proposición es verdadera en forma general.El principio de Inducción Matemática consiste en dos partes: Una proposición es válida para todo número natural n si:
1-La proposición es válida para n = 1.
2-De su validez para un número natural cualquiera n = k se desprende su validez para
n =k + 1.
Ejemplo 1: Considerar los números impares: 1, 3, 5, 7, ... Indicando u1, u2, u3, u4, etc. Lo primero que debemos hacer es hallar la...