Induccion matematica

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Inducción matemática, axioma y a veces método de demostración usando el axioma de inducción. La inducción matemática no debe confundirse con la inducción en otros campos, en donde se define como latécnica de extracción de conclusiones generales a partir de un gran número de casos o experimentos individuales. En matemáticas, esta conclusión, aunque pueda parecer completamente razonable, puede serfalsa. Sin embargo, la inducción matemática se usa a menudo para verificar, o probar, una conjetura obtenida mediante inducción no matemática. Hablando con precisión, el axioma de inducción dice: si Mes un conjunto de enteros positivos, con las siguientes propiedades
IA. M contiene al entero 1, y,
IIA. Si M contiene al entero n, se puede demostrar que M contiene además al entero n + 1, entoncesM contiene a todos los enteros positivos.
La primera parte del axioma de inducción, IA, suele llamarse base, y la segunda parte, IIA, parte inductiva. El axioma de inducción es útil para demostrarciertas expresiones matemáticas. Suponiendo que la proposición P(n) es verdadera o falsa dependiendo sólo del valor de la n, el axioma de inducción se puede utilizar para demostrar que si
IB. P (1) esverdadera, y
IIB. El saber que P(n) es verdadera, implica que P(n+1) es también verdadera, entonces P(n) se cumple para cualquier n.
Por ejemplo, sea P(n) la afirmación de que la suma de los nprimeros enteros positivos es igual a la mitad del producto de los enteros n y (n + 1). Utilizando símbolos, esto se puede expresar como

(a)
[pic]
Dado un entero cualquiera n, si se quiere comprobarsi P(n) es verdadera, habría que insertar la n en la proposición (a), y comprobar que ambos lados de (a) son equivalentes. Para demostrar que P(n) es verdadera utilizando la inducción matemática,basta con comprobar que se cumplen las condiciones IB y IIB. Primero se comprueba que IB es verdadera. Para n = 1, la proposición (a) se convierte en

[pic]

por lo que P (1) es verdadera

A...
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