Inducion

EJERCICIO 1
Los saludos

a) Para averiguar los saludos que se darán 20 personas vamos averiguar una fórmula primero con un nº más pequeño, para resolver el nº de saludos que se pueden dar.
Lo representaremos mediante un polígono, cada vértice representa una persona.
- Primero un polígono de 5 vértices.

- Ahora sacaremos una fórmula que lo confirme:

Desde cada vértice solo podemossacar 2 diagonales porque las otras dos contiguas forman los lados y sobre él vértice mismo no es posible trazar ninguna línea. Es decir podemos unir 5 – 3 diagonales.
Sabemos que el total de diagonales es igual a la suma de consecutivos comenzando en 2 y que el último nº a sumar es el total de vértices (5) menos 2 → 5 – 2. Luego la suma de extremos es igual a (5 – 2) + 2 = 5 por tantas sumascomo parejas de extremos ( )
Entonces si multiplicamos la suma de extremos por tantas diagonales como podemos unir (5 – 3) la fórmula final sería
Si resolvemos la fórmula: = 10/ 2 = 5 diagonales podemos trazar.
- Hemos comprobado que sí da el mismo resultado, pero para verificarlo lo haremos con el siguiente polígono de 6 lados, es decir ¿cuántos saludos se darían 6 personas?
= = 18 / 2 =9 saludos se darán
Si lo representamos gráficamente y contamos las diagonales vemos que el resultado es cierto.

- Ahora resolvemos nuestro problema con 20 personas:

= = 340/ 2 = 170 saludos se darán 20 personas

b) ¿Y si hubiese n personas?

Aplicamos a n la misma fórmula:



c) ¿Y cuántas personas en una reunión que se hayan intercambiado 1225 saludos?

Si miramos elejercicio b) sabemos que n representa a los vértices o lo que es lo mismo a las personas, y todo ello es igual a los saludos intercambiados que es nuestras incógnita. Sin embargo ahora la incógnita es n y tenemos el total de saludos que son 1225, si lo aplicamos obtenemos una ecuación:


Si la resolvemos despejaremos la incógnita y tendremos el resultado:


(2n – 6) 2n = 2450

(2n) 2n = 2450 + 622n = 2456

4n = 2456

n = = 614 personas se intercambiaran 1225 saludos.

EJERCICICO 2
CASTILLO DE CARTAS

- Cada caseta esta compuesta por 3 cartas, y cada piso por una caseta más que el anterior, por tanto, podemos emplear la suma de extremos y enunciar una fórmula sencilla:

1•3 + 2•3 + 3•3 + -------------- + 10•3
- 2•3+(10-1)•3
- 1•3+10•3
-

Si sumamos todas lasoperaciones que son la mitad del total de sumandos 10/5 = 5 y restamos 10 cartas -que viene de que no ponemos cartas en la base de la torre porque se apoya directamente en el suelo, y es la más mayor compuesta por 10 casetas con 10 bases cada una- obtenemos el resultado.
Por tanto la fórmula a aplicar para hallar la solución teniendo en cuenta la que ya sabemos de la suma de números consecutivos (x– 1) • x/2; es la siguiente:

(1•3 + x•3) • x/2 - x

(1•3 + 10x•3) • 10/2 - 10 = 33•5 – 10 = 165 – 10 = 155 cartas necesitamos

B) ¿Y para una torre de 62 pisos?

Aplicamos la fórmula del ejercicio anterior.

(1•3 + x•3) • x/2 - x

(1•3 + 62•3) • 62/2 – 62 = (190) • 31 – 62 = 5890 – 62 = 5828 cartas necesitamos

- EJERCICIO 3
Los azulejos del ayuntamiento

- Si contemplamosel dibujo en diagonal y contamos los azulejos del dibujo, comprobamos que hay por cada fila de 4 negros, 3 blancos. Si sumamos el cuadrado de los cuadrados negros + el cuadrado de los azulejos blancos, el resultado es 25.
42 + 32 = 16 + 9 = 25
- Si nos entretenemos a contar los azulejos del dibujo, vemos que efectivamente el resultado es 25 azulejos totales.

• ¿Y si tiene 149 azulejos deanchura, qué total tendrá?
Podemos entretenernos a contar los azulejos diagonales, pero teniendo en cuenta la deducción anterior, buscaremos una fórmula.

a = anchura n = azulejos negros b = azulejos blancos
N = total de azulejos

a = n + b → sabemos que la suma de los 2 tipos de azulejos es igual a la anchura total
b = n – 1 → siempre hay un azulejo mas negro por cada fila de blancos...