Inecuaciones con valor absoluto

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INDICE ALFABETICO GUIAS MATEMATICA ALBORNOZ

……. ………. ……….

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ing. José Luis Albornoz Salazar

-1-

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Propiedades : Para cualquier número real “X” y cualquier número positivo “a” : 1) │ X│ < a a < X < a (también se cumple para ≤). Se puede decir que la desigualdad queda dividida en dos partes : En la primera se “elimina” el módulo de valor absoluto y se mantiene lo demás igual (X < a), y en la segunda se “elimina” el módulo de valor absoluto, se cambia el sentido de la desigualdad y el signo del miembro de la derecha ( X > -a ), la solución viene dada por la INTERSECCIÓN delas dos soluciones parciales. │ X │ > a X > a U X < - a (también se cumple para ≥). Se puede decir que la desigualdad queda dividida en dos partes : En la primera se “elimina” el módulo de valor absoluto y se mantiene lo demás igual (X > a), y en la segunda se “elimina” el módulo de valor absoluto, se cambia el sentido de la desigualdad y el signo del miembro de la derecha ( X < - a ), lasolución viene dada por la UNIÓN de las dos soluciones parciales. │X │ < │a │ X2 < a2 (también se cumple para >, ≥ y ≤). La solución se encuentra aplicando los métodos de resolución de una inecuación cuadrática o de segundo grado. │ X │ < – a Representa al conjunto vacío (también se cumple para ≤)
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

EJERCICIO 1 :

Resolver

│4X – 1 │ ≤ 3

Para resolveresta inecuación con valor absoluto se divide la misma en dos partes (Propiedad 1) : La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor absoluto (4X – 1 ≤ 3) y en la segunda se cambiará el sentido del signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro (4X – 1 ≥ – 3) La solución total será la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales (Propiedad 1) : Resolviendo la primera parte:4X ≤ 3 + 1 ; 4X – 1 ≤ 3 X ≤ ; X≤1

4X ≤ 4 ;

/////////////////////////////////////////////////////////////// 1 –∞ Resolviendo la segunda parte: 4X ≥ – 3 + 1 ; 4X ≥ – 2 4X – 1 ≥ – 3 ; X ≥ ;

+∞

2)

X ≥ – 0,5

–∞

////////////////////////////////////////////////////////////////// +∞ -0,5

Solución Total En forma gráfica: ////////////////////// –∞ En forma de intervalo:
-0,5
1

3)+∞

4)

X = [ – 0.5 , 1 ]

Ing. José Luis Albornoz Salazar

-2-

En forma de conjunto: X = { X Є R ⁄ – 0.5 ≤ X ≤ 1 } ¿Como comprobar estos resultados? Se escoge un valor cualquiera en cada uno de los intervalos y se introduce en la inecuación inicial y se comprueba si cumple o no de acuerdo a la solución obtenida. En este ejercicio la solución fue : ////////////////////// –∞
-0,51

EJERCICIO 2 :

Resolver

│2X + 3 │ > 5

Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en dos partes (Propiedad 2) : La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor absoluto ( 2X + 3 > 5 ) y en la segunda se cambiará el sentido del signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro ( 2X + 3 < –5 ). La solución total será la UNIÓN de las dossoluciones parciales, es decir la solución de la primera parte más la solución de la segunda parte (Propiedad 2) :. Resolviendo la primera parte: 2X > 5 – 3 ; 2X + 3 > 5 ; X> ; X>1

+∞

2X > 2

Escojo el valor X = –1 que está al lado izquierdo de “-0,5” (NO debe cumplir con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación : │4X – 1 │ ≤ 3 ; │4(-1) – 1 │ ≤ 3 ; │– 4 – 1 │ ≤ 3 –∞ Resolviendo lasegunda parte: 2X < –5 –3

///////////////////////////////////////////////// 1 +∞ 2X + 3 < –5 ; X< ; X –5 ). La solución total será la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales (Propiedad 1) : Resolviendo la primera parte: 2X < 5 – 3 ; 2X + 3 < 5 ; X< ; X 5 │– 7 │ > 5 ; │2(-5) + 3 │ > 5 ; │- 10 + 3 │ > 5

/////////////////////////////////////////////////////////////// 1 –∞ Resolviendo la...
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