Inecuaciones con valor absoluto

Universidad de la Frontera

4

Departamento de Matem´tica y Estad´
a
ıstica
Cl´
ınica de Matem´tica
a

Inecuaciones con Valor Absoluto
J. Labrin - G.Riquelme

Propiedades de ValorAbsoluto:
3. |x + y| ≤ |x| + |y|

1. |x · y| = |x| · |y|
2.

x
y

=

4. |x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k, k ≥ 0

|x|
|y|

5. |x| ≥ k ⇔ x ≤ −k ∨ x ≥ k, k ≥ 0

1. Resolver la siguiente inecuaci´n:
o|x − 1| ≤ 3
Soluci´n
o
|x − 1| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x − 1 ≤ 3/ + 1

por propiedad (4)

⇔ −2 ≤ x ≤ 4

⇒ soluci´n: [−2, 4]
o
2. Resolver la inecuaci´n:
o
|2x + 4| ≥ 6
Soluci´n
o
|2x + 4| ≥ 6 ⇒ 2x+ 4 ≤ −6 ∨ 2x + 4 ≥ 6
⇒ x + 2 ≤ −3 ∨ x + 2 ≥ 3

por propiedad (5)
factorizando y simplificando

⇒ x ≤ −5 ∨ x ≥ 1

Como x es menor o igual que −5 o x es meyor o igual que 1, el conjunto soluci´nestar´ dado por la
o
a
uni´n de estos intervalos (tal y como se aprecia en la Figura 1)
o

Luego el conjunto soluci´n ser´: ] − ∞, −5] ∪ [1, ∞[
o
a

22

Figura 4.1:
3. Resuelva:
|x2 +3| ≥ 5
Soluci´n
o

|x2 + 3| ≥ 5 ⇒ x2 + 3 ≤ −5 ∨ x2 + 3 ≥ 5
2

⇒ x ≤ −8 ∨ x ≥ 2

⇒ x2 ≤ −8/8 ∨ |x| ≥
2

por propiedad (5)

2

√

2

2

⇒x +8≤0 ∨ x ≥2

Observamos que x2 + 8 = 0no tiene soluci´n en R, es decir su soluci´n es ∅, para el segundo caso se
o
o
tiene:
√
√
√
x2 ≥ 2 ⇒ |x| ≥ 2 ⇒ x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2
Luego el conjunto soluci´n se observa en la siguiente imagen(Figura 2)
o

Figura 4.2:
4. Resuelva la siguiente inecuaci´n:
o

x
+7 ≥2
2

Soluci´n
o
x
x
x
+ 7 ≥ 2 ⇒ + 7 ≤ −2 ∨ + 7 ≥ 2
2
2
2
x
x
⇒ ≤ −9 ∨ ≥ −5
2
2
⇒ x ≤ −18 ∨ x ≥ −10Figura 4.3:

23

Por propiedad (5)
multiplicamos por 2

El conjunto soluci´n se observa en la figura anterior (Figura 4), de ah´ podemos asegurar que la soluo
ı
ci´n final ser´:
o
a
∴ Sol:] − ∞,−18] ∪ [−10, ∞[
5. Resuelve las siguiente ecuaci´n con valor absoluto:
o
|x − 1| + |4 − 2x| = 4
Soluci´n
o
Vemos que los valores que anulan el valor absoluto son x = 1 y x = 2, luego debemos...