inecuaciones

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Capitulo IV - Inecuaciones
Definición:
Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que
sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas.
Ejemplo: La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una incógnita “x” que se
verifica para valoresmayores que 4.

Intervalos:
Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las
inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.
Consideremos los siguientes tipos de intervalos:
a)

Intervalo Cerrado.- a < b
a

b)

a

a

b

Intervalo Abierto en a y Cerrado en b.< a,b ] = { x ∈ R / a < x < b }e)

b

Intervalo Cerrado en a y Abierto en b.[ a,b > = { x ∈ R / a < x < b }

d)

b

Intervalo Abierto.- a < b
< a,b > = { x ∈ R / a < x < b }

c)

b

a

[ a,b ] = { x ∈ R / a < x < b }

Intervalos Infinitos.[ a, +∞ > = { x ∈ R / x > a }

a

< a, +∞ > = { x ∈ R / x > a }

a

< -∞, b ] = { x ∈ R / x < b }
b

< -∞, b> = { x ∈ R / x < b }

b

< -∞, +∞ ] = { x / x ∈R }
Nota 1:

Si x ∈ [a,b]

a-

b
a

ó

x



ó

x ∈ < - ∞, -b/a >

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones.
1.

3x – 4 < x + 6
Solución:
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación en la
forma:
En un solo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:
3x – x < 6 + 4, simplificando se tiene: x <5. es decir: x ∈
5
La solución es: x ∈

2.

3 (x – 4) + 4x < 7x + 2
Solución:
Poniendo en un solo miembro la incógnita y en el otro miembro los números:
3x – 12 + 4x < 7x + 2

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3x + 4x – 7x < 2 + 12 simplificando 0 < 14

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Esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada, esel conjunto de
todos los números reales (x ∈ R).
3.

5x – 4 (x + 5) < x – 24
Solución:
En forma análoga a los ejemplos anteriores en un solo miembro ponemos las incógnitas y en el otro
miembro los números.
5x – 4x – x < -24 + 20 simplificando 0 < -4
Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que verifique que
la inecuación dada. Por lo tanto lasolución es el vacío (φ).

4.

2 < 5 – 3x < 11
Solución:
Aplicando la propiedad de transitividad:
a0 ó ax2 + bx + c < 0, donde
a,b,c ∈ R, a ≠ 0, por medio de la naturaleza
de las raíces primero se resuelve la ecuación ax2 + bx + c = 0, y de acuerdo a la naturaleza de las
raíces se presenta tres casos:
1º Caso: Si la ecuación ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces reales diferentes r1 < r2.

+r1

+
r2

i)

Si la inecuación es de la forma ax2 + bx + c > 0, con a > 0, la solución es todos los valores de x
que pertenecen al intervalo < -∞, r1 > ∪ < r1, + ∞ >.

ii)

Si la inecuación es de la forma ax2 + bx + c < 0, la solución es todos los valores de x que
pertenecen al intervalo < r1 , r2 >.

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”2º Caso: Si la ecuación ax2 + bx + c = 0, tiene una raíz real única r1 = r2 = r.

x

r

x

i)

Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0. La solución es todos los valores de
x ≠ r, es decir: x ∈ ∪ .
CS = x ∈ < -∞, r > U < r, +∞ >

ii)

Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0, con a > 0. No se verifica para ningún valor
real de x.

3º Caso: Si laecuación ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces no reales.
i)

Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0. La solución es todos los valores
reales de x.

ii)

Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0. No se verifica para ningún valor
real de x.
RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO
Raíces de la Ecuación

Forma de la Inecuación

Conjunto Solución
2...