Inferencia Estadistica

Inferencia estadística - Estimación puntual
La estadística provee técnicas que permiten obtener conclusiones generales a partir de un conjunto limitado – pero representativo – de datos. Cuando inferimos no tenemos garantía de que la conclusión que obtenemos sea exactamente correcta. Sin embargo, la estadística permite cuantificar el error asociado a la estimación. La mayoría de lasdistribuciones de probabilidad dependen de cierto número de parámetros. Por ejemplo: P (λ ), N ( µ , σ 2 ), Bi (n, p ), etc. Salvo que estos parámetros se conozcan, deben estimarse a partir de los datos. El objetivo de la estimación puntual es usar una muestra para obtener números que, en algún sentido, sean los que mejor representan a los verdaderos valores de los parámetros de interés. Supongamos que seselecciona una muestra de tamaño n de una población. Antes de obtener la muestra no sabemos cuál será el valor de cada observación. Así, la primera observación puede ser considerada una v.a. X1, la segunda una v.a. X2, etc. Por lo tanto, antes de obtener la muestra denotaremos X1, X2,...., Xn a las observaciones y, una vez obtenida la muestra los valores observados los denotaremos x1, x2,...., xn. Delmismo modo, antes de obtener una muestra, cualquier función de ella será una v.a., ~ por ejemplo: X , X , S 2 , max ( X 1 ,..., X n ), etc. Una vez obtenida la muestra los valores

calculados serán denotados x , ~, s 2 , max( x1 ,..., x n ), etc. x

Definición: Un estimador puntual de un parámetro θ es un valor que puede ser ˆ considerado representativo de θ y se indicará θ . Se obtiene apartir de alguna función de la muestra. Ejemplo: Con el fin de estudiar si un dado es o no equilibrado, se arroja el dado 100 veces en forma independiente, obteniéndose 21 ases. ¿Qué valor podría utilizarse, en base a esa información, como estimación de la probabilidad de as? Parece razonable utilizar la frecuencia relativa de ases.

ˆ En este caso, si llamamos p a la probabilidad que queremosestimar, p =
Métodos de estimación puntual

21 = 0.21 100

¿Cómo obtener estimadores para un problema dado? Estudiaremos dos métodos que proporcionan estimadores puntuales: el método de momentos y el método de máxima verosimilitud. Método de momentos: La idea básica consiste en igualar ciertas características muestrales con las correspondientes características poblacionales. Recordemos lasiguiente definición.

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Definición: Sea X una v.a. con función de probabilidad puntual p X (x) en el caso discreto o función de densidad f X (x) en el caso continuo. Se denomina momento de orden k (k ∈ N) o momento poblacional de orden k a E(Xk), es decir

 ∑ x k p X ( x)  x  E( X k ) =  ∞ k  ∫ x f X ( x) dx - ∞ 
si esas esperanzas existen.

en el caso discreto en el caso continuoComo ya hemos visto cuando estudiamos función generadora de momentos de una variable aleatoria, los momentos están relacionados con los parámetros de la distribución asociada. Dada una muestra aleatoria X 1 , X 2 ,..., X n , el momento muestral de orden k es

i =1

∑ Xi n

n

k

Definición: Sea X 1 , X 2 ,..., X n una m.a. de una distribución con función de probabilidad puntual ofunción de densidad que depende de m parámetros θ 1 , θ 2 ,...., θ m . Los

ˆ ˆ ˆ estimadores de momentos de θ 1 , θ 2 ,...., θ m son los valores θ 1 , θ 2 ,...., θ m que se obtienen igualando m momentos poblacionales con los correspondientes momentos muestrales. En
general, se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones

∑X
i =1

n

k i

n

= E (X k )

k = 1,2,..., mEjemplos: 1) Sea X 1 , X 2 ,..., X n una m.a. de una distribución exponencial de parámetro λ. Como hay un solo parámetro a estimar, basta plantear una ecuación basada en el primer momento.

∑ Xi
i =1

n

n

= E(X ) ⇒

∑X
i =1

n

i

n

=

1

λ

⇒

ˆ λ=

n

∑X
i =1

n

⇒
i

ˆ 1 λ= X

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2) Sea X 1 , X 2 ,..., X n una m.a. de una distribución Γ(α, λ)....