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Serie de Leibniz
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En matemáticas, la fórmula de Leibniz para el cálculo de π, nombrada así enhonor a Gottfried Leibniz, dice que:
[pic]
La expresión de la izquierda es una serie infinita denominada serie de Leibniz, que converge a π ⁄ 4. También se ladenomina serie de Gregory-Leibniz para reconocer el trabajo de James Gregory, contemporáneo de Leibniz. Usando sumatorio, la serie se puede expresar como[pic]
La fórmula fue descubierta por primera vez en el siglo XV por Madhava of Sangamagrama, un matemático indio y fundador de la escuela de astronomía y matemáticas deKerala, unos 300 años antes que Leibniz. En reconocimiento a su trabajo, también se conoce esta fórmula como la serie de Madhava-Leibniz.[1] [2

DemostraciónConsidérese la serie geométrica infinita
[pic]
Integrando los dos miembros de la igualdad, se obtiene una serie de potencias para la arcotangente:[pic]
Al introducir el valor x = 1 se obtiene la fórmula de Leibniz (la arcotangente de 1 es π ⁄ 4). El problema de este razonamiento es que 1 no se encuentra en elradio de convergencia de esta serie de potencias, por lo que hace falta un argumento más sólido para mostrar que la serie converge a tan−1(1) para x = 1. Una opción esmostrar la convergencia de la serie mediante el criterio de Leibniz para luego aplicar el teorema de Abel para demostrar que debe converger a tan−1(1). Sin embargo,también se puede utilizar un argumento completamente elemental.

[editar] Argumento elemental

Considérese la siguiente descomposición:
[pic]
Para |x| 
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