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Eliminación de Gauss-Jordan
En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o eliminación de Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienensus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: " forma escalonada".

Historia

El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía anteriormente en un importante libro matemático chino llamado Jiuzhangsuanshu o Nueve capítulos del arte matemático..

Análisis de Complejidad

La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el número de operaciones requeridas es n3 si el tamaño de la matriz es n × n.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna,intercambiarlo con otro que no lo tenga
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)
5. Comenzando con el últimorenglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes
Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos unoal cuatro (llamados paso directo) asi para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida

Ejemplo

Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:
[pic]
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Lasoperaciones (llamadas elementales) son estas:
• Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
• Intercambiar de posición dos ecuaciones
• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestroejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:
[pic]
Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.
[pic]
Finalmente eliminamos z de la primeraecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.
[pic]
Despejando, podemos ver las soluciones:
[pic]
Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:
Primero:
[pic]
Después,
[pic]Por último.
[pic]
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:
[pic]
Que representa la ecuación: 0x + 0y + 0z = 1, es decir, 0 = 1 que no tiene solución.

Forma escalonada y escalonada reducida

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:
1....
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