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Función exponencial
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales ycorresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
logaritmo natural, conocido antes como hiperbólico logaritmo[1], es logaritmo abase e, donde e es irracional constante aproximadamente igual a 2.718281828459. En términos simples, el logaritmo natural de un número x es la energía a la cual e tendría que ser levantado al igual x - por ejemplo el registro natural de e sí mismo es 1 porque e1 = e, mientras que el logaritmo natural de 1 sería 0, desde entonces e0 = 1. El logaritmo natural se puede definir para todo positivo númerosverdaderos x como área debajo de la curva y = 1/t a partir de la 1 a x, y puede también ser definido para diferente a cero números complejos según lo explicado abajo.
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La función natural del logaritmo se puede también definir como función inversa de función exponencial, conduciendo a las identidades:
Es decir la función del logaritmo es a bijection del sistema de números verdaderospositivos al sistema de todos los números verdaderos. Es más exacto isomorfismo de grupo de números verdaderos positivos bajo multiplicación al grupo de números verdaderos bajo adición. Representado como a función: Los logaritmos se pueden definir a cualquier base positiva con excepción de 1, no apenas e, y sea útil para solucionar las ecuaciones en las cuales el desconocido aparece como el exponente deuna cierta otra cantidad.
Cálculo diferencial El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f(x), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de unvalor x0 a x0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y0 = f(x0) a y0 + k = f(x0 + h), por lo que k = f(x0 + h) - f(x0). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x0 a x0 + h. La gráfica de la función y = f(x) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = (x0,y0) y B = (x0 + h, y0 + k) en esta curva; esto se muestraen la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.
Si h tiende hacia 0, para un x0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x0; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f(x), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT, en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de lacurva) en A. Así, se define la derivada f'(x0) de la función y = f(x) en x0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:
Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f'(x0) indicanque f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x0. La derivada de una función es a su vez otra función f'(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x2 (parábola), entonces por lo que k/h = 2x0 + h, que tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0, y la derivada de f(x) = x2 es f'(x) = 2x....
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