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Al igual que la serie de Taylor, la serie de Fourier depende de ciertos valores de la variable independiente x, para que converja o no. En esta sección, veremos condiciones sobre para sabera qué converge su serie de Fourier.

Definición. (Función continua por partes)
Decimos que una función
es contínua por partes en el intervalo
si:
i)
estádefinida y es contínua en
, excepto quizás en un número finito de puntos.
ii)
y
exiten y son finites.
iii) En cada punto
iv) donde
v) no escontinua,
vi) y
vii) existen y son finitos.

Graficamente, una función
es contínua por partes si tiene solamente un número finito de discontinuidades y además,estas discontinuidades no son infinitas.
Así, una gráfica típica de una función contínua por partes se ve como sigue:


Puesto que vamos a usar mucho los límites laterales, es convenienteintroducir una noación especial:





Ejemplo 5.
La función definida como:


es continua por partes, como puede verificarse fácilmente con la gráfica.

Definición.(Función suave por partes)
Una función
es suave por partes en el intervalo
si
y son funciones continuas por partes en .

Ejemplo 6.
La funcióndel ejemplo 5, es suave por partes en ya que de hecho es:

Claramente esta última es contínua por partes en .

Con estas dos definiciones, estamos encondiciones para dar nuestro primer teorema de convergencia para series de Fourier, el cual enunciamos sin demostración ya que ésta se sale de los objetivos del curso.
Primer Teorema de Convergencia
Seauna función suave por partes en . Entonces la serie de Fourier de converge en cada punto al valor:

Es decir, la serie de Fourier converge al promedio de...