Ing. Luis Paretto I. Dispositivos Fotoeléctricos De Dos Terminales.

FORMA CÁNONICA DE JORDAN DE UNA MATRIZ


Comenzaremos esta lección intentando diagonalizar por semejanza una matriz A que no es diagonalizable y veremos como obtener una matriz J semejante a Alo más parecida posible a una matriz diagonal.

Ejemplo: Consideremos la siguiente matriz 3(3
[pic]

• Autovalores de A: el polinomio característico de A es
[pic]
entonces los autovalores son[pic] con multiplicidad [pic] y [pic] con multiplicidad [pic].

• Autoespacio asociado a [pic]: [pic]
[pic]Como [pic], basta encontrar un vector en este autoespacio para tener una base, porejemplo [pic]. Así, [pic].

• Autoespacio asociado a [pic]: [pic]
[pic]
Así [pic], luego la matriz A no es diagonalizable.

• Segundo autoespacio asociado a [pic]: [pic]
[pic]
Obsérvese que[pic] y que[pic]. Entonces vamos a buscar una base de este segundo espacio que contenga un vector del primero, como sigue:
► Elegimos un vector cualquiera [pic], por ejemplo [pic].
► Seaahora [pic], luego [pic]
Entonces, [pic] es una base de [pic], y además [pic].

• Matriz asociada en la base [pic]B’=[pic]: sea f la aplicación lineal asociada a la matriz A. Por el modo en quehemos elegido los vectores [pic] tenemos que:
[pic]
Luego la matriz asociada a f en la base B’ es:
[pic]

A la matriz J la llamamos forma canónica de Jordan de A y a la matriz
[pic]
formada por losvectores de B’ la llamaremos matriz del cambio de base.

Ejercicio: Comprobar que A y J son efectivamente semejantes vía P; es decir, [pic].

Obsérvese que la matriz J se diferencia de unamatriz diagonal en que contiene algún 1 en la línea por encima de la diagonal. Pasemos ahora a describir formalmente las matrices de este tipo conocidas conmo matrices de Jordan.


Matrices de Jordan:• Caja elemental de Jordan de orden k correspondiente al autovalor ( ((ℂ): [pic] es una matriz [pic] que contiene el valor [pic]en todas las posiciones de la diagonal y el valor 1 en todas las...