Inge

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4.4 Derivadas de orden superior(Concavidad)

Asi como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa,los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. 
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, seharán algunas observaciones de tipo intuitivo. 
Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. 9.14. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos. |[pic] |

fig. 9.14.
Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por "debajo" de la rectatangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1. 
Igualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por "encima" de larecta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. 
El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el nombre de punto deinflexión de la curva. 
Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones: 
Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.
i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positivaen c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), [pic]se cumple que:
[pic](fig. 9.15. (a))
yc : y de la curva ; yt: y de la tangente|[pic] |

fig. 9.15.
ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe unintervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), [pic]
se cumple que:
[pic](fig. 9.15. (b))
iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada...
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