ingenieria de sistemas

9.Método de integración por partes.-
Se trata de otro método que permite resolver cierto tipo de integrales. Veamos: P Sea u(x) una función. Para abreviar la expresaremos por u. Su derivada será u´ y su diferencial du = u´dx P Sea v(x) otra función. Para abreviar la expresaremos por v. Su derivada será v´ y su diferencial dv = v´dx P Supongamos que deseamos resolver una integral de laforma siguiente: I u dv u v dx = = ⋅ ′ ∫∫ Es decir, la función integrando es el producto de la función u y la derivada de v. Dicho de otro modo, se trata de hallar las primitivas de una función que es el producto de una función u por la diferencial de otra v.
¡Pues bien! Vamos a deducir una fórmula que nos permitirá resolver integrales de este tipo. Veamos: O Sea (u·v)(x) = u (x)·v(x) la funciónproducto de u y v. Para abreviar expresaremos u·v O Derivemos la función producto: (u·v)´= u´· v + u · v´ (recuerda “derivada de un producto) O La diferencial de la función producto será: d(u·v) = (u·v)´dx = v · du + u · dv = v · u´dx + u · v´dx O Si consideramos la igualdad d(u·v) = v · du + u · dv e integramos en ambos miembros: { d u v v du u dv v du u dv ( ) ( ) ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅+ ⋅ ∫∫∫ ∫ integral de u na suma O Considerando que la integración es la operación recíproca de la derivación, es decir, “la integral de la derivada de una función es esa función”: d u v u v dx u v ()() ⋅ = ⋅ ′ = ⋅ ∫∫ O Considerando las dos igualdades anteriores, podemos poner: u v v du u dv ⋅ = ⋅ + ⋅ ∫∫ O Recordemos que el objetivo es calcular la integral , por lo que despejando: I u dv =⋅ ∫que es la fórmula del método de integración por partes, la cual nos permite resolver la integral si antes somos capaces de resolver la integral I u dv =⋅ ∫ v du ⋅∫
9.1.Observaciones.- Hagamos algunas observaciones importantes que deben considerarse al aplicar este método de integración: Î Este método de integración se emplea cuando la función integrando es el producto de una función (u) por laderivada de otra (v), es decir:
{ I u v dx = ⋅ ′ ∫ integrando Ï En la práctica, si empleamos este método, debemos separar el integrando en dos partes.
u dv u v v du ⋅ = ⋅ − ⋅ ∫∫
Matemáticas de 2º de bachillerato página 65 Integral indefinida
Una es la función u = u(x) y la otra dv = v´(x) dx. Saber elegir adecuadamente quien hace el papel de u(x) y quien el de v´(x) es el pasomás difícil en muchos casos. Ð Suele ocurrir que al hacer una elección para u(x) y v´(x), la integral, lejos de resolverse, se complique más. Esto significa que no hemos hecho la elección correcta y debemos intentarlo con una nueva. Ñ Nótese que para resolver al integral debemos hallar el producto de dos I udv = ∫ funciones (u·v), lo cual no representa ninguna dificultad y otra integral . vdu∫ Estaúltima integral debe ser más fácil de resolver que , ya que si fuese más I udv = ∫ complicada el método no sería útil (evidentemente, no nos interesa que para resolver una integral tengamos que hacer una más complicada que la que nos dan). Ò Puede ocurrir que la integral que debemos resolver para hallar , se vdu∫ I udv = ∫ tenga que resolver por este mismo método, es decir, hay que aplicar elmétodo de integración por partes dos veces. Ó Para recordar la fórmula de integración por este método, existe una regla nemotécnica que es facilita recordarla y así evitar un esfuerzo memorístico. Veamos:
» Regla nemotécnica
Veamos algunos ejemplos de aplicación de este método.
Ejemplo 32.- Intentemos resolver por el método de integración por partes I x Lxdx = ∫ 2 Veamos: S La función integrandoes f x x Lx () = 2
S Efectuamos la siguiente elección :
ux dv Lxdx = =
    
2
S Aplicando la fórmula tenemos: I x Lxdx udv u v vdu = = = ⋅ − ∫∫∫ 2 S Veamos que elementos conocemos y desconocemos de la fórmula anterior:
elementos de la formula
u conocida ya que u x v desconocida aunque conocemossu derivada v Lx du la podemos hallar En efecto du xdx
&
,
,
.:
→= → ′ = →=
   ...