Ingenieria Geomatica

FORMULARIO BÁSICO DE CÓNICAS

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean y
=

PUNTO MEDIO
Las coordenadas del punto medio de son:


RECTA
PENDIENTE
m =

ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA
θ = ang tg
Si θ ε (0o, 90o), la pendiente es positiva, si θ ε (90o, 180o), la pendiente es negativa.
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
y – y1 = m (x – x1)

ECUACIÓN PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN
y = mx +b

ECUACIÓN DE LA RECTA CON DOS PUNTOS CONOCIDOS
- =

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Ax + By + C = 0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sean el punto P(x1,y1) y la recta Ax + By + C = 0

el signo del radical es opuesto al signo de C.
Si d es positiva, el punto y el origen están a uno y otro lado de la recta. Si d es negativa, se localizan en el mismo lado.

RECTAS PARALELAS YRECTAS PERPENDICULARES
Sean las rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2.
1.- L1 y L2 son paralelas si y sólo si
2.- L1 y L2 son perpendiculares si

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Sean las rectas L1 y L2 con pendientes m1 y m2. El ángulo α medido en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde L1 a L2 es


CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN



x2 + y2 = r2CIRCUNFERENCIA CON CENTRO C(h,k)



(x – h)2 + (y – k)2 = r2




ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Sea el indicador N = D2 + E2 – 4F

Si N > 0 la ecuación representa una circunferencia con centro C( -D/2 , -E/2) y radio r= ½
Si N = 0 la ecuación representa un punto de coordenadas ( -D/2 , -E/2)
Si N < 0 la ec. representa ningún lugar geométricoPARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE X
y2 = 4px
F( p,0 )
L: x = -p
LR = |4p|
Si p es positiva, la parábola abre hacia la derecha
p es negativa, abre hacia la izquierda

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE Y
x2 = 4py
F( 0,p )
L: y = -p
LR = |4p|
Si p es positiva, la parábola abre hacia arriba
p es negativa, abrehacia abajo
PARÁBOLA CON VÉRTICE V(h,k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
(y – k)2 = 4p (x – h)
F( h+p , k )
L: x = h - p
LR = |4p|
Si p es positiva, la parábola abre hacia la derecha
p es negativa, abre hacia la izquierda

PARÁBOLA CON VÉRTICE V(h,k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
(x – h)2 = 4p (y – k)
F( h , k+p )
L: y = k - p
LR = |4p|
Si p es positiva, la parábola abre haciaarriba
p es negativa, abre hacia abajo

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA
A x2 + C y2 + Dx + Ey + F = 0

Representa una parábola cuando cumple las siguientes condiciones:
1.- Si A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0 (C y2 + Dx + Ey + F = 0) la ecuación representa una parábola con eje focal coincidente o paralelo al eje x.
2.- Si A ≠ 0, C = 0 y E ≠ 0 (A x2 + Dx + Ey + F = 0) la ecuación representauna parábola cuyo eje focal es coincidente o paralelo al eje y.








ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE X
x2 + y2 = 1 a > b
a2 b2
c = √ a2 – b2
F1 ( -c,0 ) F2 ( c,0 )
V1 ( -a,0 ) V2 ( a,0 )

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE Y
x2 + y2 = 1 a > b
b2 a2
F1 ( 0,-c ) F2 ( 0,c )
V1 ( 0,-a ) V2 ( 0,a )

EN AMBOSCASOS
LR = 2b2
a
e = c < 1
a
ELIPSE CON CENTRO C( h,k ) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
( x - h )2 + (y - k )2 = 1 a > b
a2 b2
c = √ a2 – b2
F1 ( h-c , k ) F2 ( h+c , k )
V1 ( h-a , k ) V2 ( h+a , k )

ELIPSE CON CENTRO C( h,k ) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
( x - h )2 + (y - k )2 = 1 a > b
b2 a2
F1 ( h , k-c ) F2 ( h , k+c )
V1 ( h , k-a ) V2 ( h ,k+a )

EN AMBOS CASOS
LR = 2b2
a
e = c < 1
a

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Sea N = CD2 + AE2 – 4ACF

1.- Si A ≠ 0, C ≠ 0, A < C , N > 0, A y C tienen el mismo signo, entonces la ecuación representa una elipse con eje focal paralelo o coincidente con el eje x.
2.- Si A ≠ 0, C ≠ 0, A > C , N > 0, A y C tienen el mismo signo, entonces la...