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GUIA 10

Series de Fourier
A finales del siglo XVIII Jan Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubri´ un o m´todo que permite aproximar funciones peri´dicas mediante combinaciones lineales e o de funciones trigonom´tricas sencillas. e

1.

Revisi´n sobre el espacio euclideo Rn o

En esta gu´ se desarrollar´ una analog´ entre el espacio euclideo Rn y el llamado ıa a ıa espacio de lasfunciones cuadrado integrables. Presentaremos de manera sucinta las principales propiedades del espacio euclideo: Bases, producto interno y ortogonalidad. Como se sabe, cualquier base en R , digamos {ej , j = 1, . . . , n}, permite expresar un vector x ∈ Rn arbitrario de manera unica mediante combinaciones lineales de elementos de la base, es decir, ´
n n

x=
j=1

aj ej ,

los componentesrelativos a la base (tambi´n llamados coeficientes) aj , j = 1, · · · , n e de x se determinan mediante la f´rmula o aj =< x, ej > en donde < ·, · > indica el producto escalar en Rn . Dos vectores x, y ∈ Rn se dicen ortogonales si < x, y >= 0. Como ense˜a el Algebra lineal, un conjunto de vectores {v1 · · · vk } se llama linen almente independiente si
k

aj vj = 0 implica a1 = · · · = aj = 0.
j=1El n´mero m´ximo de vectores linealmente independientes que tiene un espacio vecu a torial se llama la dimensi´n del espacio. Se demuestra en los cursos de Algebra lineal o que la dimension de Rn es n. Normas en Rn . La norma del vector x =
n n j=1

aj ej , esta dado por

x =
j=1

a2 = j 1



< x, x >.

La norma de vectores en Rn tiene las siguientes propiedades x+y ≤ x + y , λx= |λ| x , λ ∈ R 2 x + y = x 2 + 2 < x, y > + y 2 , | < x, y > | ≤ x y .

2.

El espacio de funciones cuadrado integrables

Si bien Fourier ide´ su m´todo pensando en funciones continuas, ocurre que sus o e ideas se pueden aplicar mejor en el contexto m´s amplio de las funciones cuadrado a integrables. En lo que sigue, miraremos las funciones como elementos de un espacio vectorial, es decir,las miraremos como vectores, y por eso ser´ conveniente utilizar a negrillas para denotarlas. De aqu´ en adelante emplearemos la siguiente notaci´n para las funciones trigoı o nom´tricas definidas en un intervalo [−l, l]: e sk (x) = sen kxπ , l ck (x) = cos kxπ l

en donde k = 0, 1, · · · . Se observa que para todo k = 0, 1, · · · , sk y ck son funciones peri´dicas con per´ o ıodo 2π . lDefinici´n 1 Sea l > 0. Una funci´n f : [−l, l] → R se llama cuadrado integrable si o o
l −l

|f (x)|2 dx < ∞.

El conjunto de funciones cuadrado integrables en [−l, l] se denota con L2 [−l, l]. Ejemplo 1. Toda funci´n definida en [−l, l], acotada y continua a trozos es cuao drado integrable en su dominio. Es claro que las funciones trigonom´tricas sk y ck e son cuadrado integrables en [−l, l]. En efecto,un c´lculo elemental muestra que a
l −l

cos2

kxπ dx = l, l

l −l

sen2

kxπ dx = l. l

. Definici´n 2 En L2 [−l, l] definiremos el producto interno entre funciones f y g por o < f , g >= 1 l
l

f (x) g(x) dx.
−l

2

La norma f de una funci´n f ∈ L2 [−l, l] est´ definida por o a f = 1 l
l

f (x)2 dx =
−l

< f , f >.

Diremos que dos funciones f y g en L2 [−l, l] sonortogonales si < f , g >= 0. Ejemplo 2. El ejemplo 1 muestra que sk = ck = 1, k = 1, 2, · · · . (1)

De otro lado, de la definici´n del producto interno se tiene o < ck , sj >= 1 l
l

cos
−l

kxπ j xπ sen dx. l l

Ahora, al aplicar la identidad trigonom´trica e cos θ1 sen θ2 = con θ1 =
kxπ l

1 (sen (θ2 − θ1 ) − sen (θ2 + θ1 )) , 2

y θ2 =

j xπ l

resulta
l

< ck , sj >= Lasustituci´n s = o
l

1 2l

sen
−l

(j + k) x π 1 dx + l 2l

l

sen
−l

(j − k) x π dx. l

(j+k) x π l

dx conduce a
(j+k) π

sen
−l

(j + k) x π l dx = l (j + k) π

sen s ds = 0,
−(j+k) π

por consiguiente < ck , sj >= 0. An´logamente se muestra que para todo k, j = 0, 1, 2, · · · a < ck , cj >=< sk , sj >= δkj ≡ 0 1 si k = j si k = j.

lo que implica entre otras...
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