Ingenieria

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A. Relaciones vectoriales A.1. Vectores unitarios. ux , uy , uz uρ , uϕ , uz ur , uθ , uϕ − coordenadas rectangulares (constantes) − coordenadas cil´ ındricas (no constantes, salvo uz ) − coordenadasesf´ricas e (no constantes)

A.2. Transformaciones de coordenadas. x = ρ cos ϕ = r sen θ cos ϕ y = ρ sen ϕ = r sen θ sen ϕ z = r cos θ ρ = x2 + y 2 = r sen θ ϕ = tan−1 (y/x) r = x2 + y 2 + z 2 = ρ2 + z 2 θ = tan−1 ( x2 + y 2 /z) = tan−1 (ρ/z) A.3. Transformaciones de las componentes coordenadas. Ax = = Ay = = Az = Aρ = = Aϕ = Ar = = Aθ = = Aρ cos ϕ − Aϕ sen ϕ Ar sen θ cos ϕ + Aθ cos θ cos ϕ −Aϕ sen ϕ Aρ sen ϕ + Aϕ cos ϕ Ar sen θ sin ϕ + Aθ cos θ sen ϕ + Aϕ cos ϕ Ar cos θ − Aθ sen θ Ax cos ϕ + Ay sen ϕ Ar sen θ + Aθ cos θ −Ax sen ϕ + Ay cos ϕ Ax sen θ cos ϕ + Ay sen θ sen ϕ + Az cos θ Aρsen θ + Az cos θ Ax cos θ cos ϕ + Ay cos θ sen ϕ − Az sen θ Aρ cos θ − Az sen θ

A.4. Elementos diferenciales de longitud.   dx ux + dy uy + dz uz dρ uρ + ρ dϕ uϕ + dz uz dl =  dr ur + r dθ uθ + rsen θ dϕ uϕ A.5. Elementos diferenciales de superficie.   dy dz ux + dx dz uy + dx dy uz ρ dϕ dz uρ + dρ dz uϕ + ρ dρ dϕ uz dS =  2 r sen θ dθ dϕ ur + r sen θ dr dϕ uθ + r dr dθ uϕ A.6. Elementosdiferenciales de volumen.   dx dy dz ρ dρ dϕ dz dV =  2 r dr sen θ dθ dϕ 1

A.7. Operaciones vectoriales – coordenadas rectangulares. ∂α ∂α ∂α + uy + uz ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az ·A= + + ∂x ∂y ∂z ∂Ax∂Az ∂Az ∂Ay − + uy − × A = ux ∂y ∂z ∂z ∂x ∂ 2α ∂ 2α ∂ 2α 2 α= + 2 + 2 ≡ · α ∂x2 ∂y ∂z α = ux
2

+ uz

∂Ay ∂Ax − ∂x ∂y

A = ux

2

Ax + uy

2

A y + uz

2

Az ≡

(

· A) −

×(× A)

A.8. Operaciones vectoriales – coordenadas cil´ ındricas. ∂α 1 ∂α ∂α + uϕ + uz ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1 ∂ρAρ 1 ∂Aϕ ∂Az ·A= + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1 ∂Az ∂Aϕ ∂Aρ ∂Az × A = uρ − + uϕ − ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂ρ 2 2 1 ∂ ∂α 1∂ α ∂ α 2 α= ρ + 2 2+ 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z α = uρ A.9. Operaciones vectoriales – coordenadas esf´ricas. e α = ur ·A ×A ∂α 1 ∂α 1 ∂α + uθ + uϕ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂Aϕ = 2 r Ar + ( sen θAθ )...
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