Ingenieria

Campos Finitos

Un campo consiste en un conjunto K dotado de dos operaciones (+, ·) y dos elementos distinguidos 0, 1 2 K que deben cumplir los siguientes axiomas: Siendo a, b, c, d 2 K enteroscualesquiera se cumple:

1. CLAUSURA: a = c y b = d implica (a + b) = (c + d) y a · b = c · d
2. ASOCIATIVIDAD: (a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
3. MODULATIVA: a + 0 = a y a · 1 =a, adem´as 0 6= 1.
4. INVERSOS ADITIVOS: Existe (−a) tal que a + (−a) = 0
5. CONMUTATIVA: a + b = b + a a · b = b · a
6. DISTRIBUTIVA: a · (b + c) = a · b + a · c
7. INVERSOS PARA EL PRODUCTO: Sia 6= 0 existe a−1 talque a · a−1 = a−1 · a = 1

El campo más pequeño en el que se puede pensar debe tener por lo menos dos elementos: el uno y el cero. Sea A = {0, 1} y definamos las operaciones(+ y ·) como se indican en los cuadros:

Entonces se verifican todos los axiomas. La clausura se garantiza por la manera como se han definido las operaciones. La conmutativa para + se ve haciendotodas las combinaciones posibles, se ve que 0 + 1 = 1 = 1 + 0; 1 + 1 = 0 = 1 + 1; 0 + 0 = 0 = 0 + 0. Así se prueban todos los axiomas. Se pueden interpretar estas operaciones como si el 0 representaralos pares y el 1 los impares. Entonces 1 + 1 = 0 porque “impar más impar da un par”, así con los 7 resultados restantes.

Se R un conjunto no vaco con dos operaciones binarias cerradas, denotadascon (+ y *) que pueden ser diferentes de la suma y productos usuales, entones (R,+,*) es un anillo si para todos (a,b,c Є R) se cumplen las siguientes condiciones

:
a) a + b = b + a-------------- Ley consecutiva de +
b) A + (b + c) = (a +b) ------- Ley asociativa de +

Sabemos lo siguiente acerca de F:

* existe un numero ` 2 N tal que 1 + 1 + · · · + 1 (` veces) = 0;* el menor valor de ` que satisface lo anterior es un primo p, que llamamos la característica de F;
* F es un espacio vectorial sobre Fp = Zp = Z/pZ, el conjunto de “enteros modulo p”;
* si...