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Geometr´ II ıa Segundo de Matem´ticas a Curso 2005-2006 Resumen/Hoja 0 de ejercicios sobre c´lculo vectorial en R3 a

1.

Producto escalar

Sean u y v dos vectores de R3 , cuyas coordenadas en la base can´nica vienen dadas, respectivao mente, por u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ). Definimos el producto escalar de u y v:
3

la norma (al cuadrado) de u: u
2 3

u·v =
j=1

ujvj .

=u·u=
j=1

u2 . j

Podemos reescribir el producto escalar en t´rminos de multiplicaci´n matricial: si escribimos u y v e o como vectores columna, ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ v1 u1 v1 entonces su producto escalar es ut v = (u1 , u2 , u3 ) ⎝ v2 ⎠ u = ⎝ u2 ⎠ , v = ⎝ v2 ⎠ u3 v3 v3 Ejercicio 1 Comprueba que se verifican las siguientes propiedades: a) u · v = v · u (simetr´ ıa). (linealidad).

b) (αu +βv) · w = α u · w + β v · w c) u · u = u
2

≥0

(no negatividad)

Adem´s, u · u = 0 si y s´lo si u = 0. a o • Proyecci´n de un vector sobre una recta o Ejercicio 2 Dados u y v, comprueba que el vector w= es el vector m´ltiplo de v m´s cercano a u. u a Deduce que cos(θ) = u·v ; u v o bien si y s´lo si o u·v = u u⊥v v cos(θ), con θ ∈ [0, π). u·v v v v u θ* w v



De lo que se obtiene que u· v = 0 Ejercicio 3 Comprueba que |u · v| ≤ u

(u y v son perpendiculares).

v

(desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Y que la igualdad |u · v| = u v s´lo se tiene si u es un m´ltiplo de v. o u Interpreta geom´tricamente esta desigualdad. e

• Aplicaciones y matrices ortogonales Una aplicaci´n lineal T : R3 → R3 es ortogonal si o T (u) · T (v) = u · v para todo u, v ∈ R3 .

Es decir, siT conserva el producto escalar. N´tese que esto supone que se conservan ´ngulos entre o a vectores, y tambi´n las normas de los vectores. e Ejercicio 4 Comprueba que, si A es la matriz que representa a la aplicaci´n T (en las bases can´nio o t −1 t cas), entonces A es una matriz ortogonal. Es decir, A A = I; o tambi´n A = A . e Ejercicio 5 Demuestra que las transformaciones lineales T de R3 dela forma T = λO, donde λ ∈ R3 , λ = 0 y O es ortogonal, conservan ´ngulos. a Ejercicio 6 Demuestra el rec´ ıproco del enunciado anterior. • Coordenadas de un vector en una base Sea u ∈ R3 y sea {a, b, c} una base de R3 . Ejercicio 7 Calcula las coordenadas de u en la base {a, b, c} si la base es a) ortonormal; b) ortogonal; c) arbitraria. Si (u1 , u2 , u3 ) son las coordenadas de u en la base {a,b, c}, calcula u 2 . Si (u1 , u2 , u3 ) y (v1 , v2 , v3 ) son, respectivamente, las coordenadas de u y v en la base {a, b, c}, calcula u · v. • Proyecci´n de un vector sobre un plano o Ejercicio 8 Sea u ∈ R3 y consideremos un plano determinado por dos vectores a y b. Determina cu´l es el vector del plano m´s cercano a u, y obt´n una expresi´n para la distancia de u al plano. a a e o

2.Producto vectorial

Sean u y v dos vectores de R3 , cuyas coordenadas en la base can´nica vienen dadas, respectio vamente, por u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ). El producto vectorial u × v es el vector dado por i j k u 3 u1 u 1 u2 u2 u3 i+ j+ k = u1 u 2 u 3 u×v = v2 v3 v3 v1 v1 v2 v1 v2 v3 Nota. Una definici´n alternativa: u × v es el unico vector tal que o ´ (u × v) · w = det(u, v, w)Ejercicio 9 Comprueba que se verifican las siguientes propiedades: a) u × v = −(v × u) b) (αu + βv) × w = α (u × w) + β (v × w). c) El vector u × v es perpendicular tanto a u como a v. d) u × v = 0 si y s´lo si u y v son linealmente dependientes. o e) (u × v) · (w × z) = u·w u·z v·w v·z

f) u×v

2

= u

2

v

2

− (u · v)2

o bien

u×v = u

v | sin(θ)| . 6 v* uz

(interpretageom´tricamente la ultima identidad). e ´ Regla: el vector u × v es perpendicular a u y a v, su longitud es u v | sin(θ)| y su sentido viene dado por las reglas habituales (sacacorcho, mano derecha, etc.). u×v

Ejercicio 10 Demuestra que si M es una aplicaci´n ortogonal, entonces, para todo u, v ∈ R3 o M (u) × M (v) = ε M (u × v) donde ε = ±1.

3.

Derivadas e integrales

En este apartado...
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