Ingenieria

Din´mica Estructural a

An´lisis S´ a ısmico de Estructuras: Din´mica Estructural a
Jos´ M.a Goicolea e Depto. Mec´nica de Medios Continuos a y Teor´ de Estructuras ıa 17/03/03

J.M. Goicolea

GM
An´lisis S´ a ısmico de Estructuras

C

Din´mica Estructural a

I. SISTEMAS LINEALES CON 1 G.D.L. Oscilador Arm´nico Simple sin o Amortiguamiento
k x
Conservaci´n energ´ o ıa:

m

m¨= fk (x) x fk (x) = −kx ⇒ 1 2 V (x) = kx 2

1 1 2 1 2 2 E = T + V = mx + kx = kA ˙ 2 2 2
donde A es la amplitud m´xima (x = 0). a ˙

(1)

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Din´mica Estructural a

Integraci´n de la ecuaci´n o o
Despejando x en (1): ˙

x= ˙

k 2 (A − x2 ) m

⇒
def

dx k √ dt = , 2 − x2 m A

Integrando, denominando ω0 = k/m, y tomando comocondici´n inicial x = 0 para t = 0, o

ω0 t = arc sen

x A

⇒

x(t) = A sen(ω0 t).

En un caso general (condiciones iniciales gen´ricas x0 , x0 ): e ˙

x(t) = A sen(ω0 t + φ).

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Oscilador con Amortiguamiento
k m c x
siendo ωD = ω0
def

fc = −cx ˙

⇒ √

m¨ + cx + kx = 0 x ˙

Si c < ccrit = 2km,

x(t) = Ae

c − 2m t

sen(ωD t + φ)

1 − ζ 2 ; c = 2ζω0 m. Alternativamente:
2 x + 2ζω0 x + ω0 x = 0 ¨ ˙

(2) (3)

x(t) = Ae−ζω0 t sen(ωD t + φ)
Las constantes (A, φ) se calculan mediante las condiciones iniciales (x0 , x0 ). ˙

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Amortiguamiento
• Medida del amortiguamiento: decremento logar´ıtmico (δ), logaritmo del cociente de amplitudes m´ximas en dos ciclos a sucesivos. • Amplitud ciclo i: ui = Ae−ζω0 ti . ti+1 2π = ti + ωD ⇒ δ = ln ui ui+1 = 2πζ 1− ζ2 ≈ 2πζ

(suficientemente aproximado si ζ ≤ 20 %).

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Oscilaciones Forzadas
♠ Ecuaci´n: o m¨ + cx + kx = p(t) x ˙ ♠ Soluci´n: o ⇔
2 x + 2ζω0 x + ω0 x =¨ ˙

p(t) . m

(4)

 x (t) = Ae−ζω0 t sen(ω t + φ); h D x(t) = xh (t) + xp (t), xp (t) : soluci´n particular. o

(5)

♠ Excitaci´n arm´nica o o p(t) = p0 sen ωt x0 =
def

⇔

xp (t) = x0 sen(ωt − φp ) = p0 /k (1 − β 2 )2 + 4ζ 2 β 2 .

(6)

p0 (k − mω 2 )2 + c2 ω 2

(7)

siendo β = ω/ω0 .
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Factorde Amplificaci´n Din´mica o a
p0 ♥ Deformaci´n est´tica: xest = . o a k ♥ Factor de Amplificaci´n Din´mica: o a x0 = Ad xest ,
1. 2. 3.

Ad =

1 (1 − β 2 )2 + 4ζ 2 β 2

.

(8)

ω p0 1: Ad → 0; x0 ≈ . (controlado por m). 2 ω0 mω ω p0 β= 1: Ad → 1; x0 ≈ xest = . (controlado por k ). ω0 k ω ≈ 1: Ad m´ximo (Resonancia); a β= ω0 p0 x0,r = ; ωr = ω0 1 − 2ζ 2 . (controlado por c). cω0 β=J.M. Goicolea

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Factor de Amplificaci´n Din´mica o a
6 Factor de respuesta en desplaz., Ad 5 4 3 ζ = 0.20 2 ζ = 0.70 1 0 0 0.5 1 1.5 ω/ω0 2 2.5 3 ζ = 0.01 ζ = 0.05 ζ = 0.10

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Resonancia. Espectro de Respuesta.
♣ Despreciando la soluci´n de lahomog´nea xh (t) → 0, o e p0 x(t) = Ad (β) sen(ωt − φp ); k p0 x(t) = √ ˙ Av (β) cos(ωt − φp ); km p0 x(t) = − Aa (β) sen(ωt − φp ). ¨ m
Donde Av =
ω ω 0 Ad ;

(9) (10) (11)

Aa =

ω ω0 Av

=

ω ω0

2

Ad .

♣ En gr´fica (ln(ω/ω0 ), ln Av ): a • Ad = cte.: ln Av = ln(ω/ω0 ) + ln Ad , recta pendiente +45◦ • Aa = cte.: ln Av = − ln(ω/ω0 ) + ln Aa , recta pendiente −45◦

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10 ζ = 0.01 ζ = 0.05 ζ = 0.10 ζ = 0.20

Factor de respuesta en velocidades, Av

1

Aa = constante; escala medida Ad ζ = 0.70

Ad = constante; escala medida Aa

0.1 0.1

1 ω/ω0

10

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