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INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

Introduccion

En este tema se tratara exclusivamente con funciones reales de variable real. Su objetivo es tratar de obtener numéricamente valores para la derivada de una función en un punto, o para la integral definida en algun intervalo, conociendo los valores de la función solo en algunos puntos. las derivadas en cualquier punto, así como lasintegrales en cualquier intervalo, difieren. Sin embargo, si nos restringimos a ciertas clases de funciones, como los polinomios de grado n,

En las secciones sucesivas necesitaremos dos teoremas de an_alisis matem_atico ya conocidos,
pero que se enuncian como recordatorio.
Teorema del resto
Sea f(x) una funci_on de R en R de clase Cn1 (o sea, cont__nua y con derivadas hasta orden
n 1cont__nuas) en el intervalo cerrado [x; x + h] y cuya derivada de orden n existe en el
intervalo abierto ]x; x + h[. Entonces existe alg_un punto _ 2]x; x + h[ tal que
f(x + h) = f(x) + hf0(x) +
h2
2
f00(x) + : : : +
hn
n!
f(n)(_)
El teorema es de existencia, es decir, dice que tal punto _ est_a entre x y x+h, pero no cu_al es.
En cualquier caso, conociendo los valores m__nimo y m_aximo de lasderivadas en [x; x + h] el
teorema, como veremos despu_es, puede servir para acotar el error cometido en un desarrollo
en serie.
Propiedad de D'Arboux
Sea f(x) cont__nua en el intervalo cerrado [a; b], y supongamos que f(a) _ f(b). Entonces, 8y 2
]f(a); f(b)[ existe un punto _ 2]a; b[ tal que f(_) = y. Es decir, todos los valores comprendidos
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entre los que la funci_on toma en los dosextremos del intervalo se alcanzan en al menos uno
de los puntos interiores del mismo.
6.2 Diferenciaci_on num_erica
6.2.1 M_etodos directos
Dada una funci_on f de clase C1 de_nida sobre un intervalo [x; x+h], estamos interesados en
calcular su derivada f 0(x) en el punto x. Para ello, partimos de la de_nici_on de derivada:
f0(x) = l__m
h!0
f(x + h) f(x)
h
Entonces, podemos tomar un valorh peque~no y hacer una primera estimaci_on del valor de la
derivada como
f0(x) '
f(x + h) f(x)
h
(6.1)
Sin embargo, esta aproximaci_on no permite acotar el error cometido. No obstante, si recurrimos
a desarrollar en serie f alrededor de x hasta orden n-1, con resto de orden n, obtenemos
f(x + h) = f(x) + hf0(x) +
h2
2
f00(x) + : : : +
hn
n!
f(n)(_)
Podemos particularizar a n = 2 ydespejar f 0(x) como
f0(x) =
f(x + h) f(x)
h
h
2
f00(_) (6.2)
Como quiera que, si la derivada segunda existe en ]x; x +h[, el segundo t_ermino tiende a 0 al
tender h a 0, este t_ermino da el error cometido cuando no lo consideramos, es decir, cuando
aproximamos usando la ecuaci_on (6.1).
Ejemplo: usar la ecuaci_on (6.1) para evaluar la derivada de f(x) = cos(x) en x = _
4
tomando h= 0;01, y evaluar luego el error cometido usando la ecuaci_on (6.2).
f0(
_
4
) '
cos( _
4 + 0;01) cos( _
4 )
0;01
= 0;71063051
El t_ermino de error ser_a
j
h
2
f00(_) j= 0;005 j cos(_) j_ 0;005
de modo que la cota superior para el error ser_a _a = 0;005. As__ pues, f 0(_
4 ) = 0;711_0;005.
Como hemos visto, el t_ermino de error es proporcional al tama~no del paso, h. Por ello,deber__a tomarse un tama~no de paso peque~no. Alternativamente, podemos preguntarnos si
existen f_ormulas m_as precisas, que hagan el error proporcional a otras potencias de h. En
efecto, si tomamos tres t_erminos del desarrollo en serie de Taylor de f alrededor de x, y
adem_as usamos dos valores de h, uno positivo y otro negativo, obtenemos
f(x + h) = f(x) + hf0(x) +
h2
2
f00(x) +
h3
6f000(_1) (6.3)
f(x h) = f(x) hf0(x) +
h2
2
f00(x)
h3
6
f000(_2) (6.4)
56 Diferenciaci_on num_erica
Restando dichas ecuaciones, y despejando la derivada se obtiene
f0(x) =
f(x + h) f(x h)
2h
h2
6
(f000(_1) + f000(_2))
Si ahora suponemos que f es al menos de clase C3 en el intervalo ]_1; _2[, por la propiedad de
D'Arboux, existe un punto _ 2]_1; _2[ tal que f000(_) =...
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