Ingeniero ambiental

FENOMENOS DE TRANSPORTE

1) Ejercicio Conductividad en líquidos

Un liquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo largo que inicialmente está lleno de vapor B. Analicemos los distintos vectores velocidad para un punto en el cual XA=1/6; v*=12; (VA-V*)=3; MA=6MB; calcular VA, VB, V, (VB-V*), (VA-V) y (VB-V)

Solución: al evaporarse A, empuja el vapor B hacia arriba. Sinembargo, no existe una linea recta de separación de los dos vapores, sino que el desplazamiento del vapor B va acompañado de una mezcla mutua de los dos vapores. Por tanto debido a la difusión, en un punto cualquiera del tubo, A se mueve hacia arriba más rápidamente de lo que corresponde al movimiento medio global, y en cambio B se mueve más lentamente.

XA=1/6 XB=5/6 v* = (CAVA + CBVB)/C = XAVA +XBVB = 12
(VA - v*) = 3 va = 15
VB = (12 - 15/6)(6/5) = (72 - 15)/5 =57/5 = 11 2/5
(VB - v*) = 11 2/5 - 12 = - 3/5
MA=5Mb: WA= xaMa/(XAMa + xbME< - C5/6)MB/(5/6MB + 5/6Mb) - 1/2
IVA-V! = 15 - 13 1/5 T 1 4/5 IVB-Vl : 11 2/5 - 13 1/5 = - 1 4/5
2) Conducción en esfera hueca.
Cuando el gradiente de temperaturas significativo se dé en una única dirección, podremos suponer conducciónunidimensional. Si las isotermas no cambian con el tiempo, tendremos régimen permanente.
Las condiciones de contorno deben ser constantes




• Condiciones de contorno:


• Ecuación Diferencial:




• Temperatura:

• Flujo de Calor:

• Densidad de Flujo:






3) Conducción Bidimensional del estado estacionario:
A fin de apreciar cómo se aprovecha el método de separación devariables para resolver problemas de conducción en 2 dimensiones, consideramos el sistema de la figura. Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperatura constante T1, mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T1" T2. Estamos interesados en la distribución de temperaturas T(x,y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación
"(T- T1)/( T1- T2)Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación (2T/x2)+ (2T/y2)=0, la ecuación diferencial transformada es:
(2/x2)+ (2/y2)=0

Y
T2, =0
W
T1, =0 T1, =0
0
X
• T1, =0
Como la ecuación es de segundo orden en X y Y, se necesitan 2 condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son
(0,Y) = 0 y (X,0) = 0
(L,Y) = 0 y (X,W) = 0
Advierta que a través de la transformaciónde la ecuación, tres de las cuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de esta restringido al intervalo entre 0 y 1
Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X mientras la otra depende solo de Y. Es decir, suponemos la existencia de unasolución de forma
(X,Y) = X(x)*Y(y)
Al sustituir en la ecuación anterior y dividir entre XY, obtenemos
-(d2X/Xdx2) = (d2Y/Ydy2)
Y es evidente que la ecuación diferencial es, de hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de x y el lado derecho solo de y. así la igualdad se aplica en general solo si ambos lados son iguales a la misma constante. Al identificar estaconstante de separación -hasta ahora desconocida- como 2, tenemos
d2X/dx2 + 2X = 0
d2Y/dy2 + 2Y = 0
y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que la asignación de 2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se seleccionara un valor negativo o se eligiera un valor de 2 = 0, sería fácil demostrar que es imposible obtener una solución quesatisfaga las condiciones de frontera que se establecen.
Las soluciones generales de las ecuaciones son, respectivamente,
X = C1cosx + C2senx
Y = C3e-y + C4e-y
En cuyo caso la forma general de la solución en 2 dimensiones es
= (C1cosx + C2senx)( C3e-y + C4e-y)
Al aplicar la condición que (0,y) = 0, es evidente que C1 = 0. Además el requerimiento que (x,0) = 0, obtenemos
C2senx(C3 +C4)...