Ingeniero

APLICACIONES DE LA DERIVADA
UNIDAD V

5.1. RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGALES Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espaciotangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, .

Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .
La tangente es laposición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por
Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto,la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

Suponiendo claro está que . Si entonces la recta normal es simplemente . Esta recta nointerviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.

5.2. TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL

Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) =f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un número c en (a,b). Este teorema es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera para nada la conclusión del mismo.
El Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719). En la figura de abajo se ilustra la interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones querequiere el Teorema: f es continua en [a, b] e integrable en (a, b), y
f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la recta tangente a la gráfica de f es paralela al eje x, es decir donde se cumple que f '(c) = 0



teorema de lagrange o teorema de valor medio del calculo diferencial:En la teoría de grupos, el teorema de Lagrange es un resultadoimportante que relaciona el orden de un grupo finito G con el orden de cualquiera de sus subgrupos. Más precisamente, afirma que si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces
(1)
Donde | G | y | H | son el orden del grupo G y el orden del subgrupo H, en tanto que [G:H] es el índice de H en G.
El recíproco del teorema de Lagrange es falso, pues existen grupos de orden m que pueden notener un subgrupo de orden n a pesar de que . Por ejemplo, el grupo simétrico S4 tiene orden 24 y no tiene ningún subgrupo de orden 6. En general, los grupos no resolubles son ejemplos en los que el recíproco del teorema de Lagrange no aplica. Por otra parte, el recíproco del teorema de Lagrange es siempre cierto para el caso de grupos abelianos, y por tanto lo es también para grupos cíclicos.Aquí se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio. El teorema afirma que si la función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,



5.3. FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE. MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. CRITERIO DE LA PRIMERA...