Ingeniero

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC

1

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Ejercicios Resueltos

(ejemplar de prueba)
Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los estudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para buscar, analizar, procesar, representar ycomunicar diferentes tipos de
información, decodi…cando y traduciendo la información contenida
en las funciones, grá…cos, series de Fourier, integrales de Fourier y
sus propiedades.

1.1

Problema 1.

i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 .Representar
gra…camente y estudiar la convergencia de la serie en R:
f (x) =

0 si
x
si 0

x

0

x

Solución:i) Calculo de los coe…cientes de Fourier.
"
#
0
R
R
R
1
1
f (x)dx + f (x)dx =
a0 = 2
f (x)dx = 2
0
h 2i
x
1
= 4
a0 = 2
2
0
R
R
an = 1
f (x) cos(nx)dx = 1 x cos(nx)dx

1
2

0

Usando hel método de integración h partes se tiene: i
por
i
n
cos(nx)
1 x cos(nx)
1
1
an =
+ n2
=
0 0 + ( n1)
2
n
n2
0

an =

( 1)n 1
n2

=

0

2
n2

para n parpara n impar

así:
a2n = 0
8n
a2n 1 = (2n 21)2 8 n:
R
R
bn = 1
f (x) sin(nx)dx = 1 x sin(nx)dx
0
h
i
x cos(nx)
sin(nx)
1
=
+ n2
= cos(n )
n
n
0
luego el coe…ciente es:
n+1
bn = ( 1)
n

1

R
0

xdx

Por lo tanto, la serie de Fourier será:
"
1
X
2
+
2 cos ((2n
4 n=1
(2n 1)

n+1

( 1)
1) x) +
n

#

sin(nx)

En todos los puntos de continuidad laserie converge a f (x) y en los puntos
de discontinuidad del tipo x = + 2n con n 2 Z, la serie converge a 2 :
ii) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie:
1
X

1

n=1

Solución.(ii)
Evaluando en x = 0 se tiene
0=

2
4

de donde
4
y de aquí

=

2

1
X

n=1

1.2

(2n

1)2

1
1
1
+ 2 + 2 + :::
12
3
5
1
1
1
+ 2 + 2 + :::
2
1
3
5
21
(2n

1)2

=

8

Problema 2

i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 , de…nida
por:
f (x) = x2 ;

x

ii) A partir del resultado obtenido calcular la suma de:
1
X 1
n2
n=1

iiI) Determine la convergencia de la serie

1
X 1
n4
n=1

Solución:
i) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que
tiene la forma:
1
X
a0+
an cos (nx)
n=1

2

a0 =

1

R

R

1

f (x)dx =

0

an =

2

R

x2 dx =

0

f (x) cos(nx)dx =

h 0
x2 sin(nx)
n

+ 2x cos(nx)
an =
n2
Luego, la serie es:

2

i

R

h

1

x3
3

i

0

=

2

3

x2 cos(nx)dx

0

0

=

4 cos(n )
n2

=

4( 1)n
n2

1
X ( 1)n
cos (nx)
n2
n=1

2

+4

3

Como la función escontinua en R ,entonces:

1
X ( 1)n
cos (nx) ; todo x real.
n2
n=1

2

x2 =

3

+4

Solución (ii)
La serie numérica se puede obtener haciendo x =
2

2

=

de donde

1
12

4

3

1
22

1
X 1
1
=
n2
4
n=1

1
32

2

;

:::

2

3

y f( ) =

2

=

6

iii) Como la función f es seccionalmente suave para
x
y f(
f ( ) se cumplen
las condicionesde su…ciencia de la identidad de Parseval entonces
1

Z

x2

2

2

dx =

2

=

2
9

1 x5
5
1
X 1
n2
n=1

1.3

3
4

+

4

=

+

1
X 4 ( 1)n
n2
n=1

1
X 16
=)
n4
n=1

90

Problema 3

Sea f (x) = x(sin x); si

< x < ; entonces:

i) Determine la serie de esta función.
3

2

=)

)=

ii) Pruebe la convergencia de la serie:
1
X ( 1)n1
=
n2 1
4
n=1

Solución:
i) La función f (x) es par, es decir f (x) = f ( x) 8 x 2 ( ; ); entonces:
bn = 0
R
R
R
a0 = 1 f (x)dx = 1 x sin xdx = 1 [x ( cos x)]0 + cos xdx = 1
0

an =

2

R

0

R

2

f (x) cos(nx)dx =

0

0

x sin x cos(nx)dx

0

Para n 6= 1
R
an = 1 x [sin ((n + 1) x)

sin ((n

1) x)] dx =

0

Para n = 1
R
a1 = 2 x sin x cos xdx...