Ingeniero



Cociente incremental
Se le llama cociente incremental o cociente de incrementos al cociente

Derivada de una función en un punto
Se define como la derivada de la función y = f(x) con respecto a x en un punto x0 al límite, si existe, del cociente incremental cuando x tiende a cero.
Se denota por f ’(x0). Entonces:
f ’(x0) = =
El valor de la derivada de una función depende del puntoen donde se calcule.






Notaciones
La derivada de la función y = f(x) puede escribirse:
y’ ó f’(x) Notación de Lagrange
Dxy ó Dxf(x) Notación de Cauchy
ó f(x) Notación de Leibniz
ó (x) Notación de Newton




Cálculo de la derivada a partir de la definición (método de los cuatro pasos)
Sea y = f(x) (1)
1er paso.- Se incrementaen x el valor de la variable independiente, resultando incrementada la variable dependiente y, en y.
y + y = f(x +x) (2)
2º paso.- Se calcula el incremento de la variable dependiente, restando la expresión (2) menos (1).
y = f(x + x) – f(x) (3)
3er paso.- Se calcula el cociente de los incrementos, dividiendo (3) entre x.

4º paso.- Se calcula el límite del cociente de los incrementoscuando x tiende a cero.

Si este límite existe, entonces dicho límite es la derivada deseada:


DERIVADAS LATERALES
La existencia de la derivada, siendo ésta un límite, está relacionada con la existencia de los límites laterales y con la igualdad entre ellos.
=
=

Estos límites laterales son la derivada lateral por la izquierda y la derivada lateral por la derecha, respectivamente. Sedenotan de la siguiente manera:
Derivada lateral por la izquierda:
(xo) =


Derivada lateral por la derecha:
(xo) =
Con lo anterior, si f’(xo) existe (xo) = (xo) = f’(xo)

Derivabilidad de una función en un intervalo
Si la derivada f’(x) existe en todos los puntos de un intervalo abierto (a, b), entonces f(x) es derivable en ese intervalo.
Cuando f’(x) no existe en uno o máspuntos del intervalo, entonces la función f(x) no es derivable en uno o más puntos de dicho intervalo.
Si el dominio de una función continua f(x) es el intervalo cerrado [a, b] no puede hablarse de la derivabilidad de la función en el intervalo, dado que si no existe (a), implica que no existe f’(a); análogamente, si no existe (b), entonces no existe f’(b).



Derivabilidad y continuidadSi la función f(x) es derivable en el punto x = x1, entonces la función es continua en dicho punto.
Toda función derivable en un punto, es continua en él, pero no toda función continua en un punto es derivable en el mismo.
La continuidad es una condición necesaria para la existencia de la derivada, pero no es condición suficiente.
Una función f(x) es derivable en el punto x1 sí y sólo si secumplen las siguientes dos condiciones:
1) f(x) es continua en x1
2) (x1) = (x1)
Si cualquiera de ellas no se verifica, entonces no existe f’(x1).



Derivada de una función de función
(Regla de la cadena)
Sean las funciones y = f(u), u = g(x) derivables tales que y = f( g(x)) x Dg que hace que g(x) Df
Entonces, la derivada de y con respecto a x está dada por =, o bien, Dxy = Duy Dxu

Generalización de la regla de la cadena
Sea (x) = h {g [f (x)]}. Si se cumple que:
a) f es derivable en x
b) g es derivable en f(x)
c) h es derivable en g [f (x)]
entonces la función (x) es derivable en x y la derivada es:
(x) = h’{g [f (x)]} g’[f (x)] f’(x)



o bien, con la notación de Leibniz,
si y = h(u), u = g(v), v = f(x)
=o con la notación de Cauchy,
Dxy = Duy Dvu Dxv

Derivada de la función inversa
Si y = f(x) es una función biunívoca (inyectiva o uno a uno), derivable, f‘(x) 0, siendo su función inversa
x = f-1(y), entonces la derivada de la inversa es:
Dyx =
Es decir, es posible obtener la derivada de la función inversa a partir de la derivada de la función dada, sin tener que determinar su inversa....