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Normas, desigualdades y dualidad1 H. A. Helfgott

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Versión preliminar del 3 de junio de 2005

Índice general
Prefacio Capítulo 1. Principios básicos 1. La norma r . La desigualdad del triángulo. 2. Comparaciones entre normas 3. Normas y dualidad 4. Auto-dualidad, productos escalares y desigualdad de Cauchy 5. Operadores duales. Principio de la gran criba 6. Analísis de Fourier en Z/p.Transformada de Fourier como isometría. Capítulo 2. Aplicaciones en la teoría de números 1. La desigualdad de Cauchy y el análisis de Fourier en la combinatoria aditiva 2. La gran criba: desigualdades 3. La gran criba como tal Apéndice: lemas sobre los primos. Bibliografía v 1 1 2 3 5 8 10 13 13 14 19 23 25

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Prefacio
Notación. Sean f , g funciones definidas en un subconjunto de losreales. Al escribir g f, queremos decir que |g(x)| < c1 |f (x)| para todo x > c2 , donde c1 y c2 son constantes positivas. Por O(f (x)) entendemos una función g no especificada tal que g f . Por lo tanto, h(x) = O(f (x)) es lo mismo que h f. Por o(f (x)) denotamos cualquier función g tal que, para todo > 0, hay un X tal que |g(x)| < |f (x)| para todo x > X. Finalmente, escribimos f ∼ g si, para todo >0, hay un X tal que |f (x) − g(x)| < |g(x)| para todo x > X. (Decimos también que f y g son asintóticas.) Si las constantes c1 , c2 , (“constantes implícitas”) no son en verdad completamente constantes (“constantes absolutas”), sino que dependen de, digamos, A y B, entonces escribimos A y B bajo la relación: A,B , OA,B (· · · ); una constante no absoluta se escribe CA,B . Lo mismo vale si larelación entre y X depende de A y B: oA,B (· · · ), ∼A,B .

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CAPÍTULO 1

Principios básicos
1. La norma
n r.

La desigualdad del triángulo.

Consideremos elementos x de R , esto es, vectores x = (x1 , · · · , xn ) con xi real, 1 ≤ i ≤ n. Recuerden que la longitud de x es simplemente x2 + · · · + x2 , por el teorema de Pitágoras. n 1 Trabajaremos con un concepto mas general de longitud,llamado norma. Para cada x ∈ Rn y cada número real r que no sea igual a cero, podemos definir la norma1 2 de la manera siguiente: (1.1.1) |x|r = 1 |xi |r n x=1
n 1/r

.

√ En particular, si r = 2, la norma |x|2 es igual a la longitud de x dividida por n. En el espacio ordinario, la linea es el camino más corto entre dos puntos; en particular, dados vectores x1 , x2 , · · · , xm , la longituddel vector x1 + x2 + · · · + xm es menor o igual a la suma de las longitudes de x1 , · · · , xm . La misma aseveracion es cierta de la norma r , si es que r ≥ 1: (1.1.2) |x1 + x2 + · · · + xm |r ≤ |x1 |r + |x2 |r + · · · + |xm |r .

Esta aseveracion lleva el nombre de desigualdad de Minkowski o simplemente desigualdad del triángulo para la norma r . Si r > 1, la desigualdad del triangulo es unaigualdad sí y sólo sí x1 , . . . , xm son multiplos no negativos uno del otro, i.e., sí y solo sí todos apuntan en exactamente la misma dirección. Es fácil probar (1.1.2) para m > 2 asumiendo que (1.1.2) es verdad para m = 2. Por lo tanto, necesitamos probar (1.1.2) sólo para m = 2. Por conveniencia, escribiremos en lo inmediato x en vez de x1 y y en vez de x2 . Problema 1 (La prueba original deMinkowski). Muchos problemas clásicos de máximos y mínimos – como, por ejemplo, el problema de encontrar la figura de perímetro dado que rodee un máximo de área – ceden al enfoque siguiente. Digamos que queremos mostrar que el máximo se obtiene sólo en un caso en particular. (La estrategia para encontrar un mínimo es la misma.) Supongamos que se llega al máximo en algún otro caso; el plan es mostrarque una pequeña variación de este supuesto máximo, escogida según nuestra conveniencia, lleva a un incremento en el valor de la función a ser maximizada. Así llegamos a una contradicción. Entonces no hemos terminado todavía, ya que es posible que una función no tenga un máximo en ningún lugar. Esta posibilidad puede ser eliminada – si es que en verdad no es el caso – mediante el uso de algún...
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