Ingeniero

Análisis Matemático I
Números Reales:
Cotas: A = (a;b) k es cota superior de A ! " x " A, x " k
q es cota inferior de A ! " x " A, x " q
Conjunto Mayorante: Conjunto de todas las cotas superiores MA = [b; +")
Conjunto Minorante: Conjunto de todas las cotas inferiores mA = (−"; a]
Supremo: La menor de las cotas superiores SA = {b} si b " A ! b es MÁXIMO
Ínfimo: La mayor de las cotasinferiores IA = {a} si a " A ! a es MINIMO
Función Par: f(−x) = f(x)
Función Impar: f(−x) = −f(x)
Función Inyectiva: " x1 " Df, " x2 " Df: x1 " x2 ! f(x1) " f(x2)
Función Sobreyectiva: f: A ! B ! If = B
Función Biyectiva: Si es INYECTIVA y SOBREYECTIVA
Composición de funciones: gof (x) = g[f(x)]
Función Signo: h(x) = |f(x)| / f(x)
Logaritmo: loga x = y ! ay = x
Cambio de base de a a b: logb x =loga x / loga b
Límite:
lim f(x) = L ! " > 0 " () > 0 / " x: (x " Df " |x−a| < ! |f(x) −L| < )
x!a
Ley del Sándwich: lim f(x) = L
x ! a "x / x"Df " x"0 " h(x)/ f(x) " h(x) " g(x) ! lim h(x) = L
lim g(x) = L x ! a
x!a
Asíntota Vertical: x = a ! lim f(x) = " " a " Df

1

x!a
Asíntota Horizontal: y = L ! lim f(x) = L f(x) cociente de polinomio de igual grado
x!"
Asíntota Oblicua: y =mx + b ! lim f(x) = m " lim [ f(x) − mx] = b
x!" x x!"
Discontinuidad:
• Discontinuidad esencial de 1ª especie con salto infinito: es cuando los limites laterales con x
tendiendo a a dan +" y −". Siempre es asíntota vertical en x = a.
• Discontinuidad esencial de 1ª especie con salto finito = d: es cuando los limites laterales con x
tendiendo a a dan b y c. d = b − c.
• Discontinuidadesencial de 2ª especie: no existe uno de los limites laterales.
• Discontinuidad evitable: los limites laterales dan iguales con x ! a pero a " Df. Es cuando a es
simultáneamente raiz del numerador y del denominador.
Teorema de Bolzano: f continua en [a; b] ! sg f(a) " sg f(b) " f(a) " 0 " f(b) " 0
! " c " (a, b) / f(c) = 0
Teorema del Valor Medio: f continua en [a; b] " f(a) " f(b) " f(a) < k ! " c " [a; b] / f(c) = k
Derivadas:
f'(x) = lim f(x) − f(x0) = lim f(x0 + x) − f(x0)
x!x x − x0 x!0 x
Derivada de la función compuesta: y = f[g(x)] ! y' = f'[g(x)]g'(x)
Ecuación de la recta tangente: y = f'(a) (x − a) + f(a)
Ecuación de la recta normal: y = −1/ f'(a) (x − a) + f(a)
Derivada de la función inversa: f−−1'[f(x)] = 1/f'(x)
Crecimiento y decrecimiento: Si f'(x) < 0 ! fdecrece
Si f'(x) > 0 ! f crece
Teorema del Valor Medio (Rolle):
H) f continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b)
T) " c " (a, b) / f'(c) = 0

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(Lagrange):
H) f continua en [a, b], derivable en (a, b)
T) " c " (a, b) / f'(c) = f(b) − f(a)
b−a
(Cauchy): H) f y g continuas en [a, b] y derivable en (a, b) y g'(x) " 0
T) " c " (a, b) / f(b) − f(a) = f'(c)
g(b) − g(a) g'(c)L'Hopital:
• lim f(x) = lim f'(x) (lo mismo para " )
0 x!ag(x) x!ag'(x) "
" − " lim [f(x) − g(x)] = lim kg1 −tf1 [ f(x) = k/f1]
x!a x!a f1 g1
0." lim f(x) g(x) = lim g(x) (queda "/")
x!a x!a 1/f(x)
1", 00, "0 lim [f(x)]g(x) = lim g(x) ln f(x) = lim ln f(x) =k = ln L ! L=ek
x!a x!a x!a1/g(x)
Extremos: 1) f'(x0) = 0 (posible extremo)
2) f crece a la iz. y decrece a la d. ! es MÁXIMO ! f''(x0)< 0
f decrece a la iz. y crece a la d. ! es MINIMO ! f''(x0) > 0
Concavidad: 1) f''(h) = 0 2) Debe cambiar de signo
Si f''(a) > 0 ! cóncava !
Si f''(b) < 0 ! cóncava !
Integral:
Integración por partes: " u dv = u.v − " v du
Integral definida: m(b−a) " #b f(x) dx " M(b−a) m = f(a) " M = f(b)
#a

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Teorema del Valor Medio:
F continua en [a, b] ! " c " (a, b) / f(c) = 1 #b f(x) dx
b −a #a
Sucesiones:
Si una sucesión tiene un limite finito ! la sucesión converge
Si una sucesión converge ! es una sucesión acotada
Si una sucesión no tiene limite finito ! la sucesión es divergente
Si una sucesión es de la forma {(−1)n}n"1 = {−1, 1, −1, ...} ! es oscilante
Criterio de D'Alambert:
Lim an = L < 1 es convergente
en 0
L
L = 1 ? no dice nada
L > 1 es divergente

n!+"...

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