Ingeniero

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Ing. Hernan Sotero Gonzalez
Buenos Aires, Argentina

DINAMICA DE ESTRUCTURAS

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Vibraciones amortiguadas de sistemas de
un grado de libertad con excitación
armónica - Análisis por equilibrio de
fuerzas.
HERNAN SOTERO GONZALEZ
Ingeniero Civil - Master M.D.I.
Reconquista 538 piso 2 23 B - C1003ABL - Buenos Aires, Argentina
E-mail : hernansgz@fibertel.com.ar
Seestudiará el modelo formado por una masa m. un resorte de constante K y un amortiguador de
constante C sometido a una fuerza perturbadora senoidal de amplitud Po y pulsación w . De acuerdo a lo
visto, los parámetros del sistema son :
Frecuencia natural

ωn=

K
m

Frecuencia natural con amortiguamiento
ω r = ω n⋅ 1 − ξ

2

Coeficiente de amortiguamiento

ξ=

La ecuacióndiferencial del movimiento es :
 d2 x ( t) 
 dx ( t) 
m⋅
 + C⋅ 
 + K ⋅ x = Po ⋅ sin ( ω ⋅ t)
2
 dt 
 dt 
Dividimos por la masa m nos queda :
2

d x ( t)
2

dt

+

C  dx ( t) 
K
Po
⋅
⋅x =
⋅ sin ( ω ⋅ t)
+
m  dt  m
m

Reemplazando por los parametros correspondientes nos queda :
2

d x ( t)
2

dt

+ 2 ⋅ ξ ⋅ ω n⋅

dx ( t)
dt

+ ( ω n) ⋅ x =
2

Po
m⋅ sin ( ω ⋅ t)

hernansgz@fibertel.com.ar

C
Cc

=

C
2⋅m⋅ω n

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En el modelo de vibraciones forzadas sin amortiguamiento, la solución senoidal para x estaba en fase
(o en oposición) con la fuerza perturbadora. La fuerza de inercia (derivada segunda de la solución )
tambiénestaba en fase u oposición con la fuerza perturbadora.
Suponiendo para este caso una solución senoidal con pulsación igual a la de la derivada primera de
esa solución, o sea la fuerza ejercida por el amortiguador, esta adelantada en p /2 respecto de la fuerza
ejercida por el resorte. Por lo tanto, la solución no puede estar en fase con Po pues en ese caso la
fuerza debida al amortiguamientoquedaría sin equilibrar.
Solución no factible :
x ( t) = Xo ⋅ sin ( ω ⋅ t − φ )
Fuerza del resorte :
2

−k ⋅ x = −m ⋅ ω ⋅ Xo ⋅ sin ( ω ⋅ t − φ )

Fuerza del amortiguador :

−C ⋅

dx

= −2 ⋅ m ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ ω ⋅ Xo ⋅ cos ( ω ⋅ t − φ )

dt

Fuerza de inercia :

−m ⋅

d2
2

2

x = m ⋅ ω ⋅ Xo ⋅ sin ( ω ⋅ t − φ )

dt

Los vectores de fuerza, incluyendo la de inercia, debenproporcionar un polígono cerrado. De él tenemos :
Po ⋅ sin ( φ ) = 2 ⋅ m ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ ω ⋅ Xo
Po ⋅ cos ( φ ) = m ⋅ ( ω n) ⋅ Xo − m ⋅ ω ⋅ Xo
2

2

Por lo tanto la solución x(t) debe estar atrasada un cierto ángulo f respecto de P(t), para que una
componente de ésta equilibre a la fuerza del amortiguador.
Elevando al cuadrado ambas expresiones :
La solucion que planteamos es del tipo :
Po ⋅sin ( φ ) = ( 2 ⋅ m ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ ω ⋅ Xo)
2

2

2

2
2
2
2
Po ⋅ cos ( φ ) = m ⋅ ( ω n) ⋅ Xo − m ⋅ ω ⋅ Xo



2

Sumando ambas ecuaciones nos queda :
2
2
2
2
22
Po = Xo ⋅  ( 2 ⋅ m ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ ω ) + m ⋅ ( ω n) − m ⋅ ω  



2
2
2
2
2
22
Po = Xo ⋅  ( 2 ⋅ m ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ ω ) + m ⋅ ( ω n) − ω  




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Despejando obtenemos el valor de la amplitud del movimiento :

Xo =

Po
m

1

⋅

2

( ω n) 2 − ω 2 + ( 2 ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ ω ) 2



Asi mismo, del polígono de fuerzas, puede obtenerse la expresión para el ángulo de fase f :

tan ( φ ) =

2 ⋅ m ⋅ ξ ⋅ ω n ⋅ ω ⋅ Xo
m ⋅ ( ω n) ⋅ Xo − m ⋅ ω ⋅ Xo
22



φ = atan 



=

2 ⋅ ξ ⋅ ω n⋅ ω
( ω n) 2 − ω 2



=

ω 
2⋅ξ ⋅

 ωn
ω 
1−

 ωn

2


 ω 
 2⋅ξ ⋅

2 ⋅ ξ ⋅ ω n⋅ ω 
 ωn 

 = atan
2

( ω n) 2 − ω 2 
ω 


1−


 ωn 

Por lo tanto la solucion en regimen permanente resulta :

xperm ( t) =

Po
m

1

⋅

⋅ sin ( ω ⋅ t − φ )

2 2

( ω n)...