Ingeniería industrial y sus aplicaciones

Magister Lord Barrera:

Coordinador del área de Matemática

Geometría Analítica Parte II

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial

Lord Barrera

1. Geometría Analítica del Espacio

1.1. Rectas en el Espacio

Definición 1.1. Sea P = ( x0 , y0 , z0 ) un punto fijo y v = ( a, b, c) un vector no nulo. La recta L pasando por P con vector director v es el conjunto

L:

X = P +tv,

t∈R

(1.1)

Más explícitamente, si X = ( x, y, z) es un punto general sobre la recta L, entonces

L:

( x, y, z) = ( x0 , y0 , z0 ) + t( a, b, c),

t∈R

(1.2)

Las relaciones (1.1) y (1.2) se llaman ecuaciones vectoriales de la recta L. Geométricamente:
z

v

P

y

x

− → Tenemos así que PX = tv para algún punto t ∈ R. De la relación (1.2) conseguimos las ecuaciones L: x = x0 + ta,
y = y0 + tb, z = z0 + tc, donde t ∈ R (1.3)

estas ecuaciones son llamadas ecuaciones paramétricas de la recta L.

Lord Barrera Ejemplo 1.1. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta L pasando por el punto P = (1, −1, 2) con vector director v = (1, 1, 1). Solución.

L:
o también

( x, y, z) = (1, −1, 2) + t(1, 1, 1) = (1 + t, −1 + t, 2 + t),
x = 1 + t, y = −1 +t, z = 2 + t, t ∈ R.

t∈R

L:

Observación 1.1. Si en (1.3) los escalares a, b, c son todos no nulos, podemos escribir y − y0 z − z0 x − x0 L: = = (1.4) , donde t ∈ R a b c estas ecuaciones son llamadas ecuaciones simétricas de la recta L. Ejemplo 1.2. Determinar la ecuación de la recta (en sus tres formas si es posible) pasando por los puntos P = (2, 5, −3) y Q = (1, 3, 7). Solución.Grafiquemos la recta L pasando por los puntos P y Q:

z Q

y x P

− → Tenemos v = PQ = Q − P = (1, 3, 7) − (2, 5, −3) = (−1, −2, 10). De donde obtenemos la ecuación vectorial: ( x, y, z) = (2, 5, −3) + t(−1, −2, 10),
las ecuaciones paramétricas: x = 2 − t, y las ecuaciones simétricas: x−2 y−5 z+3 . = = −1 −2 10 y = 5 − 2t, z = −3 + 10t, t∈R t∈R

Lord Barrera

1.2. Planos en el EspacioDefinición 1.2. (Planos). Sea P ∈ R3 un punto fijo y u, v vectores no nulos y no paralelos en R3 . Definimos la ecuación vectorial del plano como sigue Π: Geométricamente: X = P + su + tv, s, t ∈ R

z

P x

y

Los vectores u y v son llamados vectores directores o vectores dirección del plano. Ejemplo 1.3. Determinar la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto (1, 1, 3) y con vectoresdirección los vectores (1, −2, 5) y (3, 3, 4). Solución. De acuerdo a la definición tenemos Π:

( x, y, z) = (1, 1, 3) + s(1, −2, 5) + t(3, 3, 4),

s, t ∈ R

Observación 1.2. Haciendo en la definición 1.2 X = ( x, y, z), obtenemos Π: x = su1 + tv1 , y = su2 + tv2 , z = su3 + tv3 , s, t ∈ R u = ( u1 , u2 , u3 ) y v = ( v1 , v2 , v3 )

estas son llamadas ecuaciones paramétricas del plano Π.Observemos también lo siguiente: desde que u y v no son paralelos, el vector u × v es un vector no nulo y perpendicular a los vectores u y v. O sea, u × v es

un vector perpendicular al subespacio generado por los vectores u y v. El vector η = u × v se llama vector normal al plano Π. Este no es precisamente el único vector normal a Π, en realidad cualquier vector normal a dicho plano tiene la forma aηcon a ∈ R no nulo. Sea P = ( x0 , y0 , z0 ) un punto fijo del plano Π y η = ( a, b, c) un vector normal a dicho plano. Si X = ( x, y, z) es un punto general del plano, se tiene que Π: η.( X − P) = 0

y reemplazando coordenadas esto significa que Π: o también Π: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0 (1.5) que es llamada ecuación cartesiana o algunas veces forma punto normal del plano Π.Si hacemos d = −( ax0 + by0 + cz0 ), la relación (1.5) se convierte en ax + by + cz + d = 0 llamada forma normal del plano Π. Ejemplo 1.4. Hallar la ecuación del plano Π conteniendo el punto (−3, 1, 3) y perpendicular al vector η = (2, 4, 8). Solución. Por la fórmula (1.5) el plano Π consiste de los puntos ( x, y, z) tal que 2( x + 3) + 4(y − 1) + 8(z − 3) = 0.

( a, b, c).( x − x0 , y − y0...