Ingeniria

DISTRIBUCIONES MUESTRALES
(Por: Jorge Idrugo Quiroz y Tonhino Velarde Escobar)

Definición.- Se denomina distribución muestral de una estadística a su distribución de probabilidad.
Por ejemplo, a la distribución de probabilidad de la estadística media , se le denomina distribución muestral de la media.
1. Distribución muestral de la media (Velarde Escobar, Yanss)

Sea X1, X2, X3, …Xn;una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población N(μ,σ2). Si es la media muestral, entonces:

a) E() = E = = n μ = μ

b) Var() = V = = n σ2 =
c) Para n suficientemente grande, la variable aleatoria,
Z = =
Tiene distribución aproximadamente normal N(0,1).

NOTAS:

i. La aproximación de a la normal N(μ,σ2 /n) es buena si n ≥ 30; sin importar si lapoblación es discreta o continua.

ii. Si la muestra aleatoria es escogida de una población normal N(μ,σ2) , entonces, la distribución de es exactamente normal N(μ,σ2 /n), para cualquier tamaño de muestra, n ≥ 2.

iii. La varianza de la muestra: Var() = es válida, si el muestreo es con o sin reemplazo en una población infinita, o es con reemplazo en una población finita de tamaño N.Si el muestreo es sin reemplazo en una población finita de tamaño N, entonces, la varianza de la distribución de es:

=

El coeficiente se denomina factor de corrección para población finita.
Observar que cuando N ∞ el factor de corrección tiende a 0.
iv. La desviación estándar de una estadística es conocida como error estándar.
Ejemplo 1. (Idrugo Quiroz, Jorge Luis)
Supongaque una población finita X consiste de los valores:
3, 4, 7, 9, 12.
a) Calcular la media y la varianza de la población.
b) Determinar la distribución muestral de la media de las muestras de tamaño dos escogidas con reposición.
Solución
a) La distribución de probabilidad de esta población finita de tamaño N=5, es la distribución uniforme siguiente:
Xi | 3 | 4 | 7 | 9 | 12 |F(Xi)=P(X=xi ) | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 |

La media y la varianza de la población son respectivamente:
μ = = = = = 7

σ2 = – μ2 = - μ2 = - 72 = 10.8
b) Se puede extraer 5 x 5 = 25 muestras de tamaño dos con reposición. Las muestras y las media son :

Muestras Media de las muestras

3,3 | 3,4 | 3,7 | 3,9 | 3,12 | 3 | 3.5 | 5 | 6 | 7.5 |
4,3 | 4,4 | 4,7 | 4,9| 4,12 | 3.5 | 4 | 5.5 | 6.5 | 8 |
7,3 | 7,4 | 7,7 | 7,9 | 7,12 | 5 | 5.5 | 7 | 8 | 9.5 |
9,3 | 9,4 | 9,7 | 9,9 | 9,12 | 6 | 6.5 | 8 | 9 | 10.5 |
12,3 | 12,4 | 12,7 | 12,9 | 12,12 | 7.5 | 8 | 9.5 | 10.5 | 12 |

La distribución de probabilidades de la media es:

| 3 | 3.5 | 4 | 5 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | 9 | 9.5 | 10.5 | 12 |
f() | 1/25 | 2/25 | 1/25 | 2/25 | 2/25 | 2/25 |2/25 | 1/25 | 2/25 | 4/25 | 1/25 | 2/25 | 2/25 | 1/25 |

Luego:

µ x =

σ2 x =∑ 2 - µ2 = 1360/25 – 72 =5.4

Ejemplo 2.
Un auditor toma al azar una muestra de n=100 cuentas por cobrar de una población finita de 500 cuentas por cobrar cuya desviación estándar es σ =$145.
¿Cuál es el error típico o estándar?
SOLUCIÓN
Sea x media de la muestra de tamaño n=100 escogida de la poblaciónfinita de N=500 cuentas por cobrar. Entonces, la variable aleatoria x tiene distribución aproximadamente normal con media µ x = µ y error estándar o típico dado por:
σ x = =





DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA VARIANZA
Por: (NAVA ALARCON GIANFRANCO)

Para poder trabajar con la varianza muestral antes necesitamos conocer la función de distribución asociada, para esto estudiaremosla distribución chi cuadrado(χ²).
 
Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución ji cuadrado con k grados de libertad, cuando su función de densidad está dada por la fórmula:
Propiedades de esta distribución:

1.    Si X es una variable con distribución ji cuadrado con k grados de libertad, su media es k y su varianza 2k.
2.    Una variable ji cuadrado no toma valores...