Integración y diferenciación numérica

UNIVERSIDAD PERUANA DE INTEGRACIÓN GLOBAL

TRABAJO DE INVESTIGACIONDE MÉTODOS NUMÉRICOS

TEMA:
Integración y Diferenciación Numérica

Carrera Profesional:
Ingeniería Civil

Nombre:
Engil Nerri Rojas Pre
Ciclo:
VI
Turno:
Noche
Profesor:
Ing. Sergio Castañeda Alegría

2010
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTRODUCCION

Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integraldefinida de una función que no tiene una antiderivada explícita, o cuya antiderivada tiene valores que no son fácilmente obtenibles. 
El método básico involucrado para aproximar cualquier función a su integral se conoce como cuadratura 
numérica y se usa una sumatoria de las funciones evaluadas en un intervalo. 
Los métodos de integración numérica se pueden utilizar para integrar funciones dadas,ya sea mediante una tabla o en forma analítica. Incluso en el caso en que sea posible la integración analítica, la integración numérica puede ahorra tiempo y esfuerzo si sólo se desea conocer el valor numérico de la integral.
Los métodos de integración numérica se obtienen al integrar los polinomios de interpolación. 
Por consiguiente, las distintas fórmulas de interpolación darán por resultadodistintos métodos de integración numérica. 
Los métodos que se estudiarán se refieren a las fórmulas de Newton-Cotes, que se basan en las fórmulas de interpolación con puntos de separación constantes y se deducen de integrar las fórmulas de interpolación de Newton, así como la fórmula de interpolación de Lagrange. 
A su vez, las fórmulas de Newton-Cotes se subdividen en las de tipo cerrado ylas de tipo abierto.
NOTA: Las reglas del trapecio y las dos reglas de Simpson pertenecen al tipo cerrado.

Regla del trapecio:
Esta regla es un método de integración numérica que se obtiene al integrar el polinomio de interpolación de primer grado (Lineal). Para obtener una buena precisión se necesita un gran número de subintervalos.

Regla de 1/3 de Simpson:
Esta regla se basa en lainterpolación polinomial cuadrática (de segundo orden). Obteniendo el polinomio de Newton ajustado a tres puntos  e integrando el resultado se tiene la regla de 1/3 de Simpson. El número de intervalos utilizados en esta regla debe ser par. (N=par).

Regla de 3/8 de Simpson:
Esta regla de 3/8 se obtiene al integrar una formula de interpolación de tercer grado. Para la regla extendida se aplicaa un número de intervalos que sea múltiplo de tres.
 

Cuando el número de intervalos es impar pero sin ser múltiplo de tres, se puede utilizar la regla de 3/8  para los primeros tres o los últimos tres intervalos y luego usar la regla de 1/3 para los intervalos restantes, que son un número par. Puesto que el orden del error de la regla de 3/8 es el mismo 
que el de la de 1/3, no se ganamayor exactitud que con la regla de 1/3 cuando uno puede elegir con libertad entre ambas reglas.)

INTEGRACION NUMERICA.

De acuerdo a la definición del diccionario, integrar significa "unir todas las partes en un todo"; unificar; indicar la cantidad total, suma total...".
Matemáticamente, la integración se representa por:

La cual representa a la integral de la función f(x) con respecto ala variable x, evaluada entre los límites x=a y x=b.
Como lo sugiere la definición del diccionario, el "significado" de la ecuación es el valor total o sumatoria de f(x)dx sobre el intervalo desde  x=a hasta b.
En realidad, el símbolo  es una S mayúscula estilizada que indica la conexión cercana entre la integración y la sumatoria.
Para las funciones que se encuentran sobre el eje x, laintegral que se expresa corresponde al área bajo la curva.

En la mayoría de las ocasiones los métodos numéricos para integración, al realizar un análisis se empieza con un planteamiento desde una perspectiva gráfica.
Un planteamiento con sentido común es el de dividir el área en segmentos verticales, o bandas, con una altura igual al valor de la función en el punto medio de cada banda.
El...