Integración por sustitución

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Integración por sustitución.
Utilizar el reconocimiento de modelos para encontrar una integral definida.
Emplear el cambio de variable para determinar una integral indefinida.
Utilizar la reglageneral de las potencias para la integración con el fin de determinar una integral indefinida.
Utilizar un cambio de variable para calcular una integral definida.
Calcular una integral definida queincluya una función par o impar.

Reconocimiento de modelos.
En esta sección se estudiarán técnicas para integrar funciones compuestas. La discusión se divide en dos partes: reconocimiento de modelosy cambio de variables. Ambas técnicas implican una u-sustitución. Con el reconocimiento de modelos se efectúa la sustitución mentalmente, y con el cambio de variable se escriben los pasos de lasustitución.
El papel de la sustitución en la integración es comparable al de la regla de la cadena en la derivación. Recordar que para funciones derivables dadas por y = F(u) y u = g(x), la regla de lacadena establece que:
ddxFgx=F'gxg'x.
De acuerdo con la definición de una antiderivada o primitiva, se sigue:
F'gxg'xdx=Fgx+C
=Fu+C
Estos resultados se resumen en el siguiente teorema.Antiderivación de una función compuesta.
Sea g una función cuyo recorrido o rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es derivable en su dominio y F es una antiderivada o primitiva de fen I entonces:
fgxg'xdx=Fgx+C.
Si u = g(x), entonces du = g’(x) dx y
fudu=Fu+C.
Cambio de variables.
Con un cambio de variables formal se puede reescribir por completo la integración en términosde u y du (o cualquier otra variable conveniente). Aunque este procedimiento puede implicar más pasos escritos que el reconocimiento de patrones, resulta útil para integrandos complicados. La técnicadel cambio de variable utiliza la notación de Leibniz para la diferencial. Esto es, si u = g(x), entonces du = g’(x)dx, y la integral en el teorema 4.12 toma la forma.
fgxg'xdx= fudu=Fu+C....
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