Integracion de formas elementales ordinarias

INTEGRACION DE FORMAS ELEMENTALES ORDINARIAS
ANTIDIFERENCIACION
Ya estamos familiarizados con las operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas; la multiplicación y la división también lo son, lo mismo que elevar a una potencia y extraer una raíz. En esta sección desarrollamos la operación inversa de la diferenciación: la anti diferenciación.
DEFINICION
Unafunción F se llama antiderivada de una función ∫, en un intervalo , Ι, si F’(x)= F(x) para todo valor de x en Ι.
EJEMPLO ILUSTRATIVO Si F se define como
F(x)= 4x3+x2+5
Entonces ∫’(x) = 12x2+2x Así si f es la función definida por x=12x2+2x
Decimos que f es la derivada de F y que F es una anti derivada de f. Si G es la función definida por
G(x)= 4x3+x2-17 Entonces G también es unaanti derivada de f,ya que G’(x)=12x2+2x. En realidad, cualquier función cuyo valor este dado por 4x3+x2+C, donde C es cualquier constante, es una antiderivada de f.
En general, si una función F es anti derivada de una función f, en un intervalo Ι, y si G esta definida por G(x)=F(x)+C donde C es una constante arbitraria, entonces G’(x)=F’(x)=f(x) y G también es una anti derivada de f enel intervalo Ι.
Ahora procedemos a probar que si F es cualquier anti derivada particular de f en el intervalo Ι, entonces todas las posibles anti derivadas de f en Ι están definidas por F(x)=C, donde C es una constante arbitraria. Antes, necesitamos un teorema preliminar.
FORMULAS:
1) du=u+k
2) afudu=afudu
3) fu+gudu=fudu+gudu
4) undu=un+1n+1+k
Primera formula Ej:* 5dx=5dx=5x+k
* -10dx=-10x+k
* -1dx2=-12x+k

Segunda formula Ej:
* 3x3dx=3x3dx=3x44+k=34x4+k
* 2x4dx=2x55+k=25x5+k
* 8x3dx=8x44+k=2x4+k
Tercera y cuarta Formula Ej:
* 5x4-8x3+9x2-2x+7dx=5x4dx-8x3dx+9x2dx-2xdx+7dx
= 5.x55-8.x44+9.x33-2.x22+7x+k= x5-2x4+3x3-x2+7x+k
* 1dxx3= x-2-2+k=-12x2+k

FORMULAS:
5) duu=lnu+k
= lnu+lnk=lnku
haciendo k=lnk
6) audu= anlna+k
7) eudu= eu+k
8) sinudu=-cosu+k
9) cosudu=sinu+k
10) sec2udu=tanu+k
11) csc2udu=-cotu+k
12) secutanudu=secu+k
13) cscucotudu=-cscu+k
14) tanudu=-lncosu+k=lnsecu+k
15)cotudu=lnsinu+k
16) secudu=ln⁡(secu+tanu)+k
17) cscudu=ln⁡(cscu-cotu)+k
EJERCICIOS:
* 1duU=lnu+k
* 1dxx=lnx+k
* 1dxx+5=lnx+5+k

AJUSTE DE INTEGRAL
Para aplicar la regla de la potencia para integración, algunas veces debemos hacer un ajuste para obtener du en el integrando.
EJERCICIOS:
* 1dx5x-3=155dx5x-3=15ln5x-3
u=5x-3
du=5dx
*dx2+3x=13∫3dx2+3x=13ln2+3x+k=ln2+3x3+k
u=2+3x
du=3dx
* x2dx2+x3=133x2dx2+x3=13ln2+x3 +k=ln2+x33+k
u=2+x3
du=3x2dx
* tdta+bt2=12b2btdta+bt2=12blna+bt2+k=lna+bt22b+k
u=a+bt2
du=2bt dt
* 2x+3dxx2+3x=lnx2+3x+k
u=x2+3x
du=2x+3dx
* y+2dyy2+4y=122y+2dyy2+4y=12lny2+4y+k=lny2+4y2+k
u=y2+4y
du=2y+4dy
du=2y+2
* eθdθa+beθ=1bbeθdθa+beθ=lna+beθb+ku=a+beθ
du=beθdθ
* sin 2xcosxdx=sin3x3+k
u=sinx
du=cosxdx
* sinaxcosaxdx=1asinaxcosaxdx.a=1asin2ax2+k=sin2ax2a+k
u=sinax
du=cosax.adx
* sin2xcos22xdx=-12-2sin2xcos22xdx=-12-cos32x3+k=cos32x6+k
u=cos2x
du=-sin2x.2dx
* tanx2sec2x2dx=2tanx2sec2x212dx=2tan2x22+k=tan2x2+k
u=tanx2
du=sec2x2.12dx
* cosaxdxb+sinax=1acosax.adxb+sinax-12=1ab+sinax1212+k=2b+sin axa+k
u=b+sinax
du=cosax.adx
* secx1+tanx2dx=sec2x1+tanx2dx=sec2x1+tanx-2dx=1+tanx-1-1+k=-11+tan x+k
u=1+tanx
du=sec2xdx
OJO: los ajustes se realizan solo con números o constantes. EJ:5a,b
INTEGRALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Formulas:
6) audu=aulna+k
7) eudu=eu+k
EJERCICIOS:
* 5eaxdx=5eaxdx=5aeax=5aeax+k
u=ax...
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