Integracion Diferencial Y Numerica

Cap´ ıtulo 6

Integraci´n y diferenciaci´n o o e num´rica

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Introducci´n o

6.1

Introducci´n o

En este tema se tratar´ exclusivamente con funciones reales de variable real. Su objetivo a es tratar de obtener num´ricamente valores para la derivada de una funci´n en un punto, e o o para la integral definida en alg´ n intervalo, conociendo los valores de la funci´n s´lo en u oo algunos puntos. Obs´rvese que, planteado sin ninguna restricci´n, o con restricciones muy e o gen´ricas, este problema no tiene una unica soluci´n. Por ejemplo, si s´lo establecemos la e ´ o o 0 ) y pasar por ciertos restricci´n de que las funciones deben ser cont´ o ınuas (o sea, de clase C puntos (x0 , y0 ) . . . (xn , yn ), en la (figura 6.1) se pueden apreciar varias de ellas que cumplenesto, y para las que obviamente, las derivadas en cualquier punto, as´ como las integrales en ı cualquier intervalo, difieren. Sin embargo, si nos restringimos a ciertas clases de funciones, como los polinomios de grado n, la funci´n, seg´ n se vi´ en el tema de interpolaci´n, ser´ o u o o ıa unica. Por todo ello, en la secci´n de derivaci´n supondremos que para calcular la derivada ´ o o en un puntodado conocemos los valores de la funci´n en cualesquiera puntos arbitrariamente o pr´ximos a ´ste, e igualmente que para calcular la integral lo haremos de una de las funciones o e que cumplen las condiciones pedidas, limit´ndonos a acotar el error cometido. a

y 1 y 2 y y4 0 y 3 x x 0 1 x 2 x 3 x 4

Figura 6.1: Varias funciones que pasan por una serie de puntos dados En las seccionessucesivas necesitaremos dos teoremas de an´lisis matem´tico ya conocidos, a a pero que se enuncian como recordatorio. Teorema del resto Sea f (x) una funci´n de R en R de clase C n−1 (o sea, cont´ o ınua y con derivadas hasta orden n − 1 cont´ ınuas) en el intervalo cerrado [x, x + h] y cuya derivada de orden n existe en el intervalo abierto ]x, x + h[. Entonces existe alg´ n punto ξ ∈]x, x + h[ tal que uf (x + h) = f (x) + hf (x) + h2 hn (n) f (x) + . . . + f (ξ) 2 n!

El teorema es de existencia, es decir, dice que tal punto ξ est´ entre x y x + h, pero no cu´l es. a a En cualquier caso, conociendo los valores m´ ınimo y m´ximo de las derivadas en [x, x + h] el a teorema, como veremos despu´s, puede servir para acotar el error cometido en un desarrollo e en serie. Propiedad de D’Arboux Sea f(x) cont´ ınua en el intervalo cerrado [a, b], y supongamos que f (a) ≤ f (b). Entonces, ∀y ∈ ]f (a), f (b)[ existe un punto ξ ∈]a, b[ tal que f (ξ) = y. Es decir, todos los valores comprendidos

55 entre los que la funci´n toma en los dos extremos del intervalo se alcanzan en al menos uno o de los puntos interiores del mismo.

6.2
6.2.1

Diferenciaci´n num´rica o e
M´todos directos eDada una funci´n f de clase C 1 definida sobre un intervalo [x, x + h], estamos interesados en o calcular su derivada f (x) en el punto x. Para ello, partimos de la definici´n de derivada: o f (x) = l´ ım f (x + h) − f (x) h→0 h

Entonces, podemos tomar un valor h peque˜ o y hacer una primera estimaci´n del valor de la n o derivada como f (x + h) − f (x) f (x) (6.1) h Sin embargo, estaaproximaci´n no permite acotar el error cometido. No obstante, si recurrio mos a desarrollar en serie f alrededor de x hasta orden n-1, con resto de orden n, obtenemos f (x + h) = f (x) + hf (x) + h2 hn (n) f (x) + . . . + f (ξ) 2 n!

Podemos particularizar a n = 2 y despejar f (x) como f (x) = f (x + h) − f (x) h − f (ξ) h 2 (6.2)

Como quiera que, si la derivada segunda existe en ]x, x + h[, el segundot´rmino tiende a 0 al e tender h a 0, este t´rmino da el error cometido cuando no lo consideramos, es decir, cuando e aproximamos usando la ecuaci´n (6.1). o Ejemplo: usar la ecuaci´n (6.1) para evaluar la derivada de f (x) = cos(x) en x = o tomando h = 0,01, y evaluar luego el error cometido usando la ecuaci´n (6.2). o π f( ) 4 El t´rmino de error ser´ e a | cos( π + 0,01) − cos( π ) 4 4 =...